Режим

Параметрлер

Формула және ізделетін шама
Тақтадағы мысалдар
Дайын жағдайлар
Қосу ережесі
b векторы мен a векторының арасындағы бұрыш
Модулі |a|10 м
x осімен бұрышы α30°
Бастапқы жылдамдық ϑ₀10 м/с
Горизонтпен бұрышы α60°

Тәжірибелер

0/6
1-сабақ · формулалар мен префикстер 2-сабақ · векторлар 3-сабақ · тригонометрия

Тәжірибені таңдаңыз: модель шарттарды дайындайды, ал тапсырма осы жерде пайда болады. Тәжірибе сіздің әрекетіңіз бойынша есептеледі.

Теңдік — таразы

Қадам 1
10⁰
Формула—
Ізделетін шама—
Қадам—
Қателер—

Шешу жолы

Не болып жатыр

Журнал

    1

    Формуланы түрлендіру: кері амал

    1-сабақүшбұрыштың бөлігін басыңыз
    Формуланы түрлендіру — ізделетін шаманы теңдіктің бір жағында жалғыз қалдыру. Ізделетін шама формуланың оң жағында да, сол жағында да тұруы мүмкін, сондықтан механикадан ядролық физикаға дейін әр есеп осыдан басталады.

    Теңдіктің екі жағы тең. Шаманы бір жақтан екінші жаққа көшіргенде оның амалы кері амалға ауысады:

    Бір жақта тұрсаЕкінші жаққа өткенде
    + қосу− азайту
    − азайту+ қосу
    · көбейту: бөлу
    : бөлу· көбейту
    квадрат (x²)түбір (√)

    Сиқырлы үшбұрыш үш шамадан тұратын кез келген формулаға жарайды. Үшбұрышты үш бөлікке бөлеміз де, ізделетін шаманы жабамыз: қалған екеуі қатар тұрса — көбейтеміз, біреуі үстінде тұрса — бөлеміз (үстіндегісін астындағысына).

    Мұндағы m — масса, ρ — тығыздық, V — көлем; S — жол, ϑ — жылдамдық, t — уақыт. Ізделетін шаманы басыңыз.

    ОйынКарточканы басыңыз: тақтадағы теңдеулерден x қалай өрнектеледі?
    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде x + 8 = 16 теңдеуінен x = 16 + 8 деп жазады — бұл қате: «+8» оң жаққа «−8» болып өтеді, сондықтан x = 16 − 8 = 8.

    !
    ҰБТ тұзағы

    x/8 + 8 = 16 теңдеуінде алдымен қосындыдан құтыламыз (x/8 = 8), содан кейін ғана бөлуден (x = 64).

    2

    Күрделі формулаларды түрлендіру

    1-сабақізделетін шаманы таңдаңыз
    F = G·m₁m₂r²бүкіләлемдік тартылыс заңы ⟨ϑ²⟩ = 3kTm₀молекулалардың орташа квадраттық жылдамдығы

    Формулада төрт-бес шама болса да, ереже сол күйінде қалады: әр шама тек кері амалмен ауысады, қалғандары орнында тұрады. Квадраттан құтылу үшін теңдіктің екі жағын да түбір астына аламыз — бір жағын ғана түбірлесек, теңдік бұзылады.

    Түбір астындағы шамалар — теңдіктің екі жағы тең болып қалатын түрлендіру нәтижесі.

    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде m₁ = F·r²/(G·m₁) деп жазады — бұл қате: ізделетін m₁ теңдіктің екі жағында да қалады. Бөлімге m₁-ге көбейтіліп тұрған шамалар барады: m₁ = F·r²/(G·m₂).

    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде r² = Gm₁m₂/F теңдігінен r = Gm₁m₂/F деп жазады — бұл қате: квадратпен бірге түбір де кетпейді, r = √(Gm₁m₂/F).

    3

    Ондық дәрежелерге амалдар және түбір

    1-сабақмысалды таңдап, қадаммен жүріңіз
    aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿкөбейткенде дәрежелер қосылады aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿбөлгенде азайтылады (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿдәрежеге шығарғанда көбейтіледі

    Физикада өте үлкен (жарық жылдамдығы 3·10⁸ м/с) және өте кіші (электрон заряды 1,6·10⁻¹⁹ Кл) сандар кездеседі. Оларды ондық дәрежемен жазып, амалдарды дәрежелер бойынша жүргізсек, есеп калькуляторсыз шығады.

    Дәреже көрсетілмесе, ол нөл емес, бір: 10 = 10¹, сондықтан 10³·10²·10 = 10⁶. Теріс дәреже бөлімнен алымға көшкенде таңбасы өзгереді: 10⁸ : 10⁻³ = 10⁸·10³ = 10¹¹.

    Түбір. Түбір астындағы дәреже жұп болса, түбірден кейін дәл жартысы шығады: √10⁴ = 10². Дәреже тақ болса, сан мәнінен бір дәреже «қарызға аламыз»: 250·10⁵ = 25·10⁶, √(25·10⁶) = 5·10³.

    Сан түзуі — дәреже көрсеткіші. Көбейту оңға секіреді, бөлу солға, дәрежеге шығару көрсеткішті еселейді, түбір екіге бөледі.

    Өзің есепте

    0 / 0

    n =

    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде 10⁹·10⁻³ = 10¹² деп жазады — бұл қате: көбейткенде дәрежелер қосылады, ал −3 теріс сан: 9 + (−3) = 6, яғни 10⁶.

    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде a·a⁵ = a⁵ деп жазады — бұл қате: дәрежесі көрсетілмеген әріптің дәрежесі бір, a·a⁵ = a⁶.

    4

    Префикстер

    1-сабақшкаладағы префиксті басыңыз
    Префикс — өлшем бірлігінің алдына қойылатын дайын ондық дәреже. Есеп шартында шамалар префикспен беріледі (км, мм, мкА, МВт), ал формулаға тек СИ жүйесіндегі мән қойылады.

    Префикстерді күнделікті өмірде де кездестіреміз: әлеуметтік желідегі «1M» жазылушы — мега, яғни 10⁶; камераның 12 мегапикселі — 12·10⁶ пиксель; 1 терабайт — 10¹² байт. Микроскоппен микрометрлік (10⁻⁶ м) заттарды көреміз, нанотехнология нанометрмен (10⁻⁹ м) жұмыс істейді.

    Еселік (үлкейтетін)
    префиксбелгісікөбейткіш
    эксаЭ10¹⁸
    петаП10¹⁵
    тераТ10¹²
    гигаГ10⁹
    мегаМ10⁶
    килок10³
    гектог10²
    декада10¹
    Үлестік (кішірейтетін)
    префиксбелгісікөбейткіш
    децид10⁻¹
    сантис10⁻²
    миллим10⁻³
    микромк10⁻⁶
    нанон10⁻⁹
    пикоп10⁻¹²
    фемтоф10⁻¹⁵
    аттоа10⁻¹⁸

    Шкаладағы префиксті басыңыз.

    Мысалдар: 1 км = 10³ м · 80 км = 8·10⁴ м = 80 000 м · 20 дм = 2 м · 50 дм = 5 м · 400 см = 4 м · 800 см = 8 м · 1000 мм = 1 м · 2 мкм = 2·10⁻⁶ м · 12 нм = 12·10⁻⁹ м
    ОйынПрефикстерді екі топқа бөліңіз: алдымен карточканы, содан кейін топты басыңыз.
    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде 10⁻² — теріс сан деп ойлайды — бұл қате: теріс дәреже — теріс сан емес. 10⁻² = 0,01 — нөл мен бірдің арасындағы сан, яғни «жүзге бөл» деген сөз.

    5

    Квадрат, куб бірліктер және уақыт

    1-сабақөлшемді ауыстырыңыз

    Бірлік квадратталса немесе кубталса, дәреже префикске де әсер етеді. Санды жазамыз, префиксті дәрежемен ауыстырамыз да, дәрежені квадраттаймыз не кубтаймыз:

    1 км = 10³ м1 км² = (10³)² м² = 10⁶ м²1 км³ = 10⁹ м³
    АуданСИ-деКөлемСИ-де
    25 км²25·10⁶ м²3 км³3·10⁹ м³
    2 дм²2·10⁻² м²2 дм³2·10⁻³ м³
    12 см²12·10⁻⁴ м²20 см³20·10⁻⁶ м³
    4 мм²4·10⁻⁶ м²12 мм³12·10⁻⁹ м³
    35 мкм²35·10⁻¹² м²250 дм³250·10⁻³ м³

    Уақыт. Секунд — уақыттың СИ жүйесіндегі бірлігі. Тізбек бойынша көбейтеміз:

    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде 25 км² = 25·10³ м² деп жазады — бұл қате: квадрат префикстің дәрежесіне де тиеді, 25 км² = 25·(10³)² м² = 25·10⁶ м².

    6

    Вектор: модуль, бағыттас және қарама-қарсы векторлар

    2-сабақекі векторды таңдаңыз
    Вектор — бағытталған кесінді. Оның басы мен ұшы болады, ұшы көрсеткімен белгіленеді: AB немесе бір әріппен a.

    Скаляр шама тек санмен және өлшем бірлігімен беріледі (жол, уақыт, масса). Векторлық шаманың бағыты да бар: күш, жылдамдық, үдеу, орын ауыстыру, импульс.

    Вектордың модулі — оның ұзындығы. Есепте «вектордың модулін табыңыз» десе, ұзындығын табамыз. Модуль ешқашан теріс болмайды: |a| = a. Нөлдік вектордың басы мен ұшы беттеседі, модулі нөлге тең.

    Физикада теріс таңба шаманың «кішілігін» емес, бағытты көрсетеді: дене оське қарсы қозғалса, жылдамдықтың проекциясы теріс болады.

    Бағыттас векторлар — a↑↑b, қарама-қарсы — a↑↓c. Тең векторлардың бағыттары бірдей және модульдері тең.

    ОйынШамаларды топқа бөліңіз: скаляр (тек сан) немесе векторлық (сан және бағыт).
    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде модульдері тең векторларды тең векторлар дейді — бұл қате: тең векторлардың бағыттары да бірдей болуы керек.

    7

    Векторларды қосу және азайту

    2-сабақжағдайды таңдаңыз

    Векторларды қосудың төрт жағдайы бар:

    ЖағдайҚорытқы вектордың модулі
    бір түзу бойында, бағыттасc = a + b
    бір түзу бойында, қарама-қарсыc = a − b (үлкенінен кішісін)
    арасы 90°c = √(a² + b²)
    арасы α бұрышc = √(a² + b² + 2ab·cos α)

    Үшбұрыш ережесі: a векторының ұшына b векторының басын қоямыз; қорытқы вектор a-ның басынан b-ның ұшына қарай бағытталады. Параллелограмм ережесі: екі вектордың басы бір нүктеде; параллель көшірмелерін саламыз, қорытқы вектор — параллелограмның диагоналі. Екі ереже бірдей нәтиже береді.

    Азайту: a − b үшін екі вектордың басын бір нүктеге қоямыз; қорытқы вектор b-ның ұшынан a-ның ұшына қарай бағытталады.

    ОйынҮшбұрыш ережесінің қадамдарын ретімен қойыңыз.
    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде 3 Н және 5 Н күштердің тең әсерлі күші әрқашан 8 Н дейді — бұл қате: 8 Н тек бағыттас күштерде. Басқа бұрышта қосынды 8 Н-нан кіші, қарама-қарсы болса — 2 Н.

    8

    Жол мен орын ауыстыру

    2-сабақмектепке барыңыз
    Жол (S) — скаляр шама, траекторияның ұзындығы. Дене қалай жүрсе, сол ұзындықтың бәрі қосылады, жол ешқашан кемімейді.
    Орын ауыстыру (S) — вектор: бастапқы нүктеден соңғы нүктеге тартылған кесінді. Ол тек бастапқы және соңғы орынға тәуелді.

    Үйден мектепке көшелермен жүрсек, бірнеше қиылыстан өтеміз — бұл жол. Үйден мектепке тартылған түзу кесінді — орын ауыстыру. Кез келген қозғалыста S ≥ |S|; теңдік тек түзу сызықты, бір бағыттағы қозғалыста орындалады.

    Дене тұйық шеңбер бойымен бастапқы нүктесіне оралса (R = 10 м): жол S = 2πR = 2·3,14·10 = 62,8 м, ал орын ауыстыру 0.

    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде ұшақ 40 км, содан кейін 90°-қа бұрылып 30 км ұшса, орын ауыстыруы 70 км дейді — бұл қате: 70 км — жол, ал орын ауыстыру Пифагор теоремасымен: √(40² + 30²) = 50 км.

    9

    Вектордың проекциялары және модулі

    2-сабақвекторды бұраңыз
    x осімен бұрышы α30°

    Проекция — вектордың осьтегі «көлеңкесі». Ол ұшының координатасынан басының координатасын азайту арқылы табылады: aᵧ = y₂ − y₁. Сондықтан проекцияның таңбасы болады.
    aₓ = a·cos αaᵧ = a·sin αa = √(aₓ² + aᵧ²)
    Вектордың бағытыaₓaᵧ
    жоғары-оңға, бұрышы α+a·cos α+a·sin α
    төмен-оңға, бұрышы β+a·cos β−a·sin β
    тік жоғары0+a
    тік төмен0−a
    горизонталь оңға+a0
    горизонталь солға−a0

    Проекциялар бойынша модуль. Құраушылар — тікбұрышты үшбұрыштың катеттері, вектор — гипотенузасы. aₓ = 2 м, aᵧ = 2 м болса, a = √(4 + 4) = 2√2 ≈ 2,83 м. aₓ = −2 м, aᵧ = 0 болса, вектор x осіне қарсы, a = 2 м.

    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде проекция мен модульді шатастырады — бұл қате: модуль ешқашан теріс емес, ал проекция теріс бола алады. Модулі 10 м вектордың проекциясы 12 м болмайды: катет гипотенузадан ұзын емес.

    10

    Бұрыш: градус және радиан

    3-сабақбұрышты өзгертіңіз
    Радиан — бұрыштың градустан басқа өлшем бірлігі. Есте сақтайтын бір ғана сәйкестік: π = 180°. Қалғанының бәрі осыдан шығады.

    Толық шеңбер — 360°, оны төрт бөлікке бөлсек, әр бөлігі 90°. 90° = π/2, 180° = π, 270° = 3π/2, 360° = 2π.

    φ рад = φ°180°·πградустан радианғаφ° = φ радπ·180°радианнан градусқа

    Мысалдар: 60° = π/3, π/4 = 45°, 135° = 3π/4, 7π/12 = 105°.

    Толық шеңбер физикада. Шеңбер бойымен қозғалыста бұрыштық жылдамдық ω = 2π/T: 2π — дене бір период ішінде жасайтын толық айналым. T = 5 с болса, ω = 2·3,14 : 5 ≈ 1,26 рад/с.

    Бұрыш60°
    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде толық шеңберді π деп алады — бұл қате: π = 180° — жарты шеңбер, ал толық шеңбер 2π.

    11

    Тікбұрышты үшбұрыш: синус, косинус, тангенс

    3-сабақбұрышты өзгертіңіз
    α бұрышы30°

    Гипотенуза (c) — тікбұрышқа қарсы жатқан ең ұзын қабырға. Катеттер тікбұрышты құрайды: α бұрышына қатысты біреуі қарсы жатқан (a), екіншісі іргелес жатқан (b).

    sin α = accos α = bctg α = abctg α = ba
    α0°30°45°60°90°
    sin α00,5≈ 0,71≈ 0,871
    cos α1≈ 0,87≈ 0,710,50
    tg α0≈ 0,581≈ 1,73—

    Синус 0°-тан 90°-қа дейін өседі (0 → 1), косинус кемиді (1 → 0), 45°-та екеуі тең. Пифагор теоремасынан a² + b² = c², екі жағын c²-қа бөлсек: sin² α + cos² α = 1. sin α = 0,6 болса, cos α = √(1 − 0,36) = 0,8.

    ОйынКарточканы басыңыз: қатынасты еске түсіріңіз.
    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде sin 60° = 0,5 деп жазады — бұл қате: 0,5 — sin 30° мен cos 60°. sin 60° ≈ 0,87.

    12

    Векторды жіктеу және көлбеу лақтырылған дене

    3-сабақденені лақтырыңыз

    Векторды гипотенуза деп қарастырамыз, оның екі құраушысы — катеттер. Ізделетін құраушы бұрышқа іргелес жатса — косинус, қарсы жатса — синус.

    Балистика — белгілі бір бұрышпен лақтырылған дененің қозғалысы. Оны екі тәуелсіз бөлікке жіктейміз: горизонталь бойынша үдеу жоқ (aₓ = 0), вертикаль бойынша тек еркін түсу үдеуі әсер етеді (aᵧ = −g).
    ϑ₀ₓ = ϑ₀·cos αϑ₀ᵧ = ϑ₀·sin α

    Мысал: ϑ₀ = 5 м/с, α = 30°: ϑ₀ₓ = 5·0,87 ≈ 4,35 м/с, ϑ₀ᵧ = 5·0,5 = 2,5 м/с. Күш те солай жіктеледі: F = 100 Н, 60° → Fₓ = 50 Н, Fᵧ ≈ 87 Н.

    Ең жоғарғы нүктеде нөлге тек вертикаль құраушы тең: ϑᵧ = 0. Горизонталь құраушы өзгермейді, сондықтан дененің жылдамдығы ϑ = ϑₓ = ϑ₀·cos α. ϑ₀ = 10 м/с, α = 60° болса, ϑ = 10·0,5 = 5 м/с.

    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде «ең жоғарғы нүктеде жылдамдық нөлге тең» дейді — бұл қате: нөлге тек ϑᵧ тең, ал ϑ = ϑ₀·cos α. Тек тік жоғары лақтырғанда (α = 90°) ғана ϑ = 0.

    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде «x бойынша — әрқашан косинус» деп жаттайды — бұл қате: бұрыш вертикальмен өлшенсе, x-ке синус, y-ке косинус шығады. Әрқашан қарсы және іргелес катетті қараңыз.

    13

    Есептерді талдау

    1, 2, 3-сабақтарқадамдарды бір-бірлеп ашыңыз

    Тренажер: өзің шығар

    0 / 0

    30 секундтаШаманы көшіргенде амал кері амалға ауысады: + ↔ −, · ↔ :, квадрат ↔ түбір. Дәрежелер көбейткенде қосылады, бөлгенде азайтылады, дәрежеге шығарғанда көбейтіледі. Префикс — дайын дәреже (к 10³, М 10⁶, с 10⁻², м 10⁻³, мк 10⁻⁶, н 10⁻⁹); аудан мен көлемде дәреже префикске де тиеді. Векторлар: бағыттас — қосылады, қарама-қарсы — азайтылады, 90° — Пифагор. Жол — скаляр, орын ауыстыру — вектор. aₓ = a·cos α, aᵧ = a·sin α; π = 180°; ең жоғарғы нүктеде ϑ = ϑ₀·cos α ≠ 0.

    Модельдер мен сызбалар оқуға ыңғайлы болу үшін жеңілдетілген, кейбір мәндер оқу үшін алынған.