Модуль, дәрежелер және санның стандарт түрі

Режим

Параметрлер

Зерттеулер

0/4

11-сабақ · модуль және дәреже

12-сабақ · стандарт түр және қателік

Зерттеуді басыңыз — сахна дайындалады, ал мұнда тапсырма шығады. Зерттеу сіздің жазбаларыңыз бойынша есептеледі: «✎ Жазып алу» батырмасы.

Анықтама

Модуль: |a| = a (a ≥ 0), |a| = −a (a < 0)
Теңдеу: |x| = a, a > 0 ⇒ x = ±a
Дәреже: a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ
Қасиеттер: aⁿ · a^m = a^n+m, aⁿ : a^m = a^n−m
Стандарт түр: a · 10ⁿ, 1 ≤ a < 10
Қателік: Δ = |a − ā|, δ = Δ : |ā|

Модуль — қашықтық

—

Қалай есептеледі

Не болып жатыр

Жазбалар

№	Мысал	Нәтиже
Әзірге жазба жоқ. «✎ Жазып алу» батырмасын басыңыз.

Журнал

Басты ойМодуль — координаталық түзудегі қашықтық, сондықтан ол ешқашан теріс болмайды, ал |x| = a теңдеуінің екі түбірі бар. Дәреженің көрсеткіші негіздің неше рет көбейткіш болып тұрғанын санайды: көбейткенде көрсеткіштер қосылады, бөлгенде азайтылады. Өте үлкен және өте кіші сандарды стандарт түрде жазамыз: a · 10ⁿ, 1 ≤ a < 10. Дөңгелектегенде қателік пайда болады: абсолют қателік — қатенің шамасы, салыстырмалы қателік — оның үлесі.

Модуль — нөлден қашықтық

11-сабақнүктені жылжытыңыз

|a| = a, егер a ≥ 0|a| = −a, егер a < 0|−a| = |a|

Әрбір сан координаталық түзуде санақ басынан белгілі бір қашықтықта кескінделеді. a санының модулі (абсолют шамасы) — координатасы a болатын нүктеден санақ басына дейінгі қашықтық. Белгіленуі: |a|.

Қашықтық, ұзындық сияқты, теріс болмайды: «ұзындығы −2 метр» деп айтпаймыз. Сондықтан модуль әрқашан теріс емес:

оң санның модулі — сол санның өзі: |5| = 5, |4,5| = 4,5;
теріс санның модулі — оған қарама-қарсы сан: |−4| = 4, |−10| = 10;
нөлдің модулі — нөл: |0| = 0.

Қарама-қарсы сандардың модульдері тең, тек таңбалары әртүрлі: 3 пен −3 нүктелері санақ басынан бірдей 3 бірлік қашықтықта жатыр, |−3| = |3| = 3.

Есептеу мысалдары: |−4,2| + 3 = 4,2 + 3 = 7,2; |−6| − |−4| + |2| = 6 − 4 + 2 = 4; |−3| · |2| = 3 · 2 = 6.

Нүкте a−4

ОйынАлдымен өзіңіз есептеңіз, сосын карточканы аударыңыз.

ҰБТ тұзағы

Кейде |−6| − |−4| = −6 + 4 = −2 деп есептейді — бұл қате: алдымен әр модульді ашамыз, сосын амал орындаймыз: 6 − 4 = 2. Модульдің ішінен әрқашан теріс емес сан шығады.

Модуль таңбасы бар теңдеулер

11-сабақтеңдеуді таңдаңыз

|x| = a, a > 0 ⇒ x = a немесе x = −a|x| = 0 ⇒ x = 0|x| = a, a < 0 ⇒ түбірі жоқ

|x| = 6 теңдеуінде x-тің орнына 6 қойсақ та, −6 қойсақ та модуль 6-ға тең болады. Сондықтан тек x = 6 деп жазсақ — жауап дұрыс, бірақ толық емес. Модуль теңдеуінде, оң жағы нөл болмаса, екі түбір жазылады: біреуі оң, біреуі теріс.

|x| + 3 = 9: модульді оңашалаймыз, |x| = 6, x₁ = 6, x₂ = −6.
7|x| − 6|x| = 1: ұқсас мүшелерді біріктіреміз, |x| = 1, x = ±1.
|10x − 1| = 0: оң жағы нөл, сондықтан бір ғана түбір: 10x − 1 = 0, x = 0,1.
|x − 2| = 3: модуль ішіндегі өрнек 3-ке де, −3-ке де тең бола алады: x − 2 = 3 немесе x − 2 = −3, яғни x = 5, x = −1. Сызбада бұл — 2 нүктесінен 3 бірлік қашықтықтағы нүктелер.
|2x + 1| = 7: 2x + 1 = 7 немесе 2x + 1 = −7, x = 3, x = −4.

Ал |x| = −3 теңдеуінің түбірі жоқ: модуль теріс бола алмайды.

«Қатені тап» ойыныШешімде бір жол қате. Соны басыңыз.

ҰБТ тұзағы

Кейде |x| = 6 теңдеуіне тек x = 6 деп жауап береді — бұл толық емес: x = −6 де түбір. Ал |10x − 1| = 0 теңдеуінде екі түбір іздеудің қажеті жоқ: 0 мен −0 — бір сан.

Натурал көрсеткішті дәреже және таңба

11-сабақжүгірткілерді жылжытыңыз

aⁿ = a · a · … · a (n көбейткіш)a¹ = a(−a)^2k > 0, (−a)^2k+1 < 0

Бірдей n көбейткіштің көбейтіндісін қысқаша жазамыз: a · a · … · a = aⁿ. Оқылуы: «a-ның n-інші дәрежесі». Мұндағы a — дәреженің негізі (қайталанатын көбейткіш), n — дәреженің көрсеткіші (неше рет қайталанатыны). Мысалы, 4⁵ = 4 · 4 · 4 · 4 · 4.

Кез келген санның бірінші дәрежесі — сол санның өзі: 8¹ = 8, a¹ = a.

Таңба. Оң санның кез келген натурал дәрежесі оң. Теріс санның жұп дәрежесі — оң, тақ дәрежесі — теріс: (−4)⁴ = 256 > 0, (−2)³ = −8. Жақшасыз жазылса, дәреже тек санға қатысты: −2⁴ = −(2⁴) = −16.

Амалдар реті: алдымен дәреже, сосын көбейту мен бөлу, соңында қосу мен азайту:

5² − 20 = 25 − 20 = 5;
13 − 3² = 13 − 9 = 4;
(7² − 51)³ = (49 − 51)³ = (−2)³ = −8.

Негізі a−2

Көрсеткіші n3

ОйынМәнінің таңбасы қандай? Топтарға бөліңіз.

ҰБТ тұзағы

Кейде негізді көрсеткішке көбейтеді: 3⁴ = 3 · 4 = 12 — бұл қате: 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Ал 13 − 3² өрнегінде алдымен азайтып, 10² = 100 алу да қате: дәреже бірінші орындалады, жауабы 4.

Нөлдік және теріс көрсеткішті дәреже

11-сабақбаспалдақпен жүріңіз

a⁰ = 1 (a ≠ 0)a⁻ⁿ = 1aⁿ (a ≠ 0)

Көрсеткіш−3

Неге a⁰ = 1? Дәрежені өзіне бөлейік: a⁵ : a⁵ = a⁵⁻⁵ = a⁰. Бірақ бірдей сандарды бөлгенде 1 шығады. Демек нөлден өзге кез келген санның нөлдік дәрежесі 1-ге тең: 5⁰ = 1, 10⁰ = 1. Нөлдің нөлдік дәрежесі деген жоқ: 0⁰ өрнегінің мағынасы жоқ.

Теріс көрсеткіш санды бөлшекке айналдырады: дәреже бөлімге көшеді, көрсеткіш оң болады. 2⁻¹ = 12, 3⁻² = 19, 2⁻³ = 18.

Мысалдар: 10⁰ + 2⁻¹ = 1 + 0,5 = 1,5; 4⁻¹ + 2⁻² = 14 + 14 = 12; (2⁻¹)² = 2⁻² = 14.

Баспалдақта оңға әр қадам — негізге көбейту, солға әр қадам — негізге бөлу. Сондықтан 2¹ = 2-ден кейін 2⁰ = 1, одан кейін 2⁻¹ = 12 келеді.

ОйынСандарды өсу ретімен орналастырыңыз.

ҰБТ тұзағы

Кейде 2⁻³ = −8 немесе 5⁰ = 0 деп жазады — бұл қате. Көрсеткіштегі минус санды теріс етпейді, оны бөлшекке айналдырады: 2⁻³ = 1/8. Ал нөлден өзге санның нөлдік дәрежесі — 1.

Бүтін көрсеткішті дәреженің қасиеттері

11-сабақмысалды таңдаңыз

aⁿ · a^m = a^n+maⁿ : a^m = a^n−m(aⁿ)^m = a^nm

Үш қасиет тек негіздері бірдей болғанда жұмыс істейді:

Көбейту — көрсеткіштерді қосамыз: a⁵ · a³ = a⁸. Бес a мен үш a қатар тұр — барлығы сегіз көбейткіш. a¹² · a⁵ = a¹⁷, a⁰ · a⁵ · a³ = a⁰⁺⁵⁺³ = a⁸.
Бөлу — көрсеткіштерді азайтамыз, негіз өзгермейді: a⁹ : a⁵ = a⁴. Бөлшектің алымындағы тоғыз a-ның бесеуі бөлімдегі бесеумен қысқарады, төртеуі қалады. a⁵ : a² = a³.
Дәрежені дәрежеге шығару — көрсеткіштерді көбейтеміз: (a²)³ = a⁶, сондықтан (a²)³ · a = a⁷.

Теріс көрсеткіштермен де солай: a⁵ · a⁻² = a⁵⁺⁽⁻²⁾ = a³, 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128.

«Қатені тап» ойыныШешімде бір жол қате. Соны басыңыз.

ҰБТ тұзағы

Кейде көбейткенде көрсеткіштерді көбейтеді: a⁵ · a³ = a¹⁵ — бұл қате, көбейткенде көрсеткіштер қосылады: a⁸. Көрсеткіштер тек дәрежені дәрежеге шығарғанда көбейтіледі. Ал 2³ + 2² қосындысына мұндай формула жоқ: 8 + 4 = 12.

Санның стандарт түрі

12-сабақнысанды басыңыз

a · 10ⁿ, 1 ≤ a < 10, n — бүтін сан

Ғылым мен техникада өте үлкен және өте кішкентай сандар жиі кездеседі. Күннің диаметрі — 1 миллиард 392 миллион метр, су молекуласының диаметрі — 0,00000003 см. Мұндай сандарды айту да, жазу да қиын, сондықтан оларды стандарт түрде жазамыз.

a · 10ⁿ жазбасында a — мәнді бөлігі, 1 ≤ a < 10; n — санның реті (бүтін сан). Үтірге дейін тек бір цифр тұрады, қалған цифрлар үтірдің оң жағына жазылады.

Қалай жазамыз: үтірді бірінші мәнді цифрдан кейін қоямыз да, неше орынға жылжытқанымызды санаймыз.

Үтір солға жылжыса — реті оң: 1 392 000 000 = 1,392 · 10⁹ (9 орын), 12 500 000 = 1,25 · 10⁷, 5 100 000 000 = 5,1 · 10⁹.
Үтір оңға жылжыса — реті теріс: 0,00000003 = 3 · 10⁻⁸ (8 орын), 0,0000093 = 9,3 · 10⁻⁶, 0,000000012 = 1,2 · 10⁻⁸.
Жазба дайын болса да, стандарт түр болмауы мүмкін: Жер мен Күннің арақашықтығы 150 · 10⁶ км. 150 = 1,5 · 10², сондықтан 150 · 10⁶ = 1,5 · 10⁸ км: үтірді 2 орын солға жылжыттық — дәрежеге 2 қосылды.

ОйынСан стандарт түрде жазылған ба? Топтарға бөліңіз.

ҰБТ тұзағы

Кейде 150 · 10⁶ немесе 0,2 · 10⁸ жазбасын стандарт түр деп санайды — бұл қате: мәнді бөлігі 1 мен 10-ның арасында болуы керек. 150 · 10⁶ = 1,5 · 10⁸, 0,2 · 10⁸ = 2 · 10⁷. Үтірді солға жылжытсақ — дәреже артады, оңға жылжытсақ — кемиді.

Дөңгелектеу: үтірден кейін неше цифр

12-сабақдәлдікті таңдаңыз

келесі цифр ≥ 5 ⇒ соңғы цифрға 1 қосамызкелесі цифр < 5 ⇒ өзгертпейміз

Өте үлкен және өте кіші сандарды стандарт түрде жазғанда үтірден кейін бірнеше мәнді цифрды ғана қалдырып, қалғанын дөңгелектейміз. Бұл кезде келесі цифрға қараймыз: ол 5 немесе 5-тен үлкен болса, соңғы қалатын цифрға 1 қосамыз, 5-тен кіші болса — өзгертпейміз. Жуық мәнді ≈ белгісімен жазамыз.

Күннің диаметрі 1,392 · 10⁹ м:

бүтінге дейін: үтірден кейін 3 < 5, ≈ 1 · 10⁹ м;
ондық үлеске дейін: келесі цифр 9 ≥ 5, ≈ 1,4 · 10⁹ м;
жүздік үлеске дейін: келесі цифр 2 < 5, ≈ 1,39 · 10⁹ м.

Ақмола облысының ауданы 146 219 км². Стандарт түрде 1,46219 · 10⁵, жүздік үлеске дейін — ≈ 1,46 · 10⁵ км²: 6-дан кейінгі цифр 2, ол 5-тен кіші.

ОйынӨзіңіз дөңгелектеңіз, сосын карточканы аударып тексеріңіз.

ҰБТ тұзағы

Кейде қалатын цифрдың өзіне қарап дөңгелектейді: 1,392 ≈ 1,3 — бұл қате. Ондық үлеске дейін дөңгелектегенде келесі цифрға (жүздік үлеске) қараймыз: ол 9, сондықтан 1,392 ≈ 1,4.

Стандарт түрдегі сандарға амалдар

12-сабақмысалды таңдап, қадаммен жүріңіз

(a · 10ⁿ) · (b · 10^m) = ab · 10^n+m(a · 10ⁿ) : (b · 10^m) = (a : b) · 10^n−ma · 10ⁿ ± b · 10ⁿ = (a ± b) · 10ⁿ

Көбейту және бөлу. Мәнді бөліктерді бір-біріне көбейтеміз (бөлеміз), ал 10-ның дәрежелерін қосамыз (азайтамыз). Соңында нәтижені міндетті түрде стандарт түрге келтіреміз.

(3,2 · 10³) · (2,7 · 10⁵) = 8,64 · 10⁸;
(9 · 10²) · (1,5 · 10⁻⁵) = 13,5 · 10⁻³ = 1,35 · 10⁻² — 13,5 стандарт түр емес, үтірді солға 1 орын жылжытып, дәрежеге 1 қостық;
(2,7 · 10⁴) : (1,5 · 10⁶) = 1,8 · 10⁻²;
(5,6 · 10⁹) : (1,4 · 10⁸) = 4 · 10¹ = 40.

Қосу және азайту. Дәрежелер бірдей болса, мәнді бөліктерді қосамыз (азайтамыз), дәрежені сақтаймыз: 1,22 · 10⁶ + 3,79 · 10⁶ = 5,01 · 10⁶, 4,22 · 10⁻³ − 2,5 · 10⁻³ = 1,72 · 10⁻³. Дәрежелер әртүрлі болса, алдымен бір дәрежеге келтіреміз: 1,5 · 10⁷ + 2,1 · 10⁶ = 15 · 10⁶ + 2,1 · 10⁶ = 17,1 · 10⁶ = 1,71 · 10⁷.

Өте үлкен санға кішкентай санды қосқанда жуық мән өзгермеуі мүмкін: Жер мен Күннің арақашықтығы ≈ 1,5 · 10⁸ км, оған Алматы мен Тараздың арақашықтығын 5 · 10² км қоссақ та, қосынды бәрібір ≈ 1,5 · 10⁸ км.

ОйынЕсептеп, нәтижені стандарт түрде жазыңыз, сосын карточканы аударыңыз.

ҰБТ тұзағы

Кейде қосқанда дәрежелерді де қосады: 1,22 · 10⁶ + 3,79 · 10⁶ = 5,01 · 10¹² — бұл қате. Дәрежелер тек көбейткенде қосылады; қосуда ортақ дәреже сақталады: 5,01 · 10⁶.

Абсолют және салыстырмалы қателік

12-сабақмысалды таңдаңыз

Δ = |a − ā|δ = Δ|ā|δ% = δ · 100%

Санды дөңгелектегенде дәл мәннің орнына жуық мәнді аламыз. Олардың арасындағы қашықтық — жіберілген қате.

Абсолют қателік — дәл мән a мен жуық мән ā айырмасының модулі: Δ = |a − ā|. Модуль міндетті: жуық мән дәл мәннен үлкен болса, айырма теріс шығады, ал қателік теріс болмайды.

Ақмола облысы: a = 146 219 км², ā = 1,46 · 10⁵ = 146 000 км². Δ = |146 219 − 146 000| = 219 км².

219 км² адам үшін үлкен аумақ сияқты. Бірақ бүкіл облыспен салыстырғанда оның үлесі өте аз. Оны салыстырмалы қателік көрсетеді — абсолют қателіктің жуық мәннің модуліне қатынасы: δ = 219146 000 = 0,0015. Пайызбен көрсету үшін 100%-ға көбейтеміз: δ = 0,15%.

Тағы мысалдар: дәл мән 50, жуық мән 48 — Δ = 2, δ = 2 : 48 ≈ 4,17%; дәл мән 3,14159, жуық мән 3,14 — Δ = 0,00159.

«Қай өлшеу дәлірек?» ойыныӘр жұптан салыстырмалы қателігі кіші өлшеуді таңдаңыз.

ҰБТ тұзағы

Кейде абсолют қателігі кіші өлшеуді әрқашан дәлірек деп санайды — бұл қате: дәлдікті салыстырмалы қателік көрсетеді. Қарындашты 0,43 см қателікпен өлшеу — шамамен 2,5%, ал 2 см болтты дәл сондай қателікпен өлшеу — 21,5%. Және δ табу үшін жуық мәнге бөлеміз.

Есептерді талдау

11 және 12-сабақтарқадаммен ашыңыз

Сызбалар мен шкалалар сандар бойынша дәл салынған. Шкаладағы өлшемдер жуық, модель жеңілдетілген.