Не зерттейміз

Сандар

Зерттеулер

0/4
6-сабақ · есептеу практикасы
7-сабақ · период және арақашықтық

Зерттеуді басыңыз — сахна дайындалады, ал мұнда тапсырма шығады. Зерттеу сіздің жазбаларыңыз бойынша есептеледі: «Жазып алу» батырмасы.

Анықтама

Көбейту, бөлу
(−) · (−) = +, (+) · (−) = −
Ондық бөлшек
үтірді екі санда да бірдей жылжыту
Бөлу
a/b : c/d = a/b · d/c
Период
0,(a) = a/9, 0,(ab) = ab/99
Арақашықтық
AB = |b − a|

Сан түзуі: таңбалар ережесі

—

Қалай есептеледі

Не болып жатыр

Жазбалар

№МысалНәтиже
Әзірге жазба жоқ. «Жазып алу» батырмасын басыңыз.

Журнал

    Басты ойРационал сан — a/b түрінде жазылатын кез келген сан: бүтін сан да, ондық бөлшек те, жай бөлшек те, шексіз периодты бөлшек те. Олармен амалдардың бәрі төрт ережеге сүйенеді: таңбалар ережесі, ортақ бөлім, үтірді бірдей жылжыту және амалдар реті. Калькуляторсыз есептеуді үйрену — ҰБТ-дағы уақытты үнемдеудің ең сенімді жолы.
    1

    Рационал сандар және таңбалар ережесі

    6-сабақсанды басыңыз
    (+) · (+) = +(−) · (−) = +(+) · (−) = −

    Рационал сан — ab түрінде жазуға болатын сан (b ≠ 0). Әр натурал сан — бүтін, әр бүтін сан — рационал: N ⊂ Z ⊂ Q. Мысалы, −3 = −3/1, 2,5 = 5/2, 0,(3) = 1/3.

    Көбейту мен бөлуде алдымен модульдерді көбейтеміз (бөлеміз), сосын таңбаны қоямыз: таңбалар бірдей болса — «+», әртүрлі болса — «−».

    • (−3) · (−4) = +12, (−5) · 2 = −10, −8 : 4 = −2;
    • бірнеше көбейткіште минустарды санаймыз: жұп болса — «+», тақ болса — «−»: (−2) · (−3) · (−1) = −6.

    Қосуда: таңбалар бірдей — модульдерді қосып, ортақ таңбаны қоямыз (−7 + (−5) = −12); әртүрлі — үлкен модульден кішісін азайтып, үлкен модульдің таңбасын аламыз (−10 + 4 = −6).

    Ұғыну оңай: теріс сан — қарыз. 5 теңге қарызыңызға тағы 6 теңге қарыз қосылса, барлығы 11 теңге қарыз: −5 + (−6) = −11.

    ОйынНәтиженің таңбасы қандай? Есептемей-ақ, тек минустарды санап топтарға бөліңіз.
    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде (−3) · (−4) = −12 деп жазады — бұл қате: екі минус «+» береді, 12. Ал қосуда керісінше: −3 + (−4) = −7 — мұнда минус сақталады.

    2

    Ондық бөлшектерді көбейту және бөлу

    6-сабақмысалды таңдаңыз
    a : b = (a · 10ⁿ) : (b · 10ⁿ)

    Көбейту. Үтірге қарамай, сандарды бүтін сандардай көбейтеміз. Сосын екі көбейткіште үтірден кейін барлығы неше цифр болса, нәтижеде де оң жақтан сонша цифрды бөліп, үтір қоямыз:

    0,8 · 1,2: 8 · 12 = 96, 1 + 1 = 2 цифр → 0,96

    0,25 · 1,2: 25 · 12 = 300, цифр 2 + 1 = 3 → 0,300 = 0,3. Соңындағы нөлдер жазылмайды.

    Бөлу. Бөлгіш бүтін сан болуы керек. Сол үшін екі санда да үтірді оңға бірдей орынға жылжытамыз — бұл екеуін де 10, 100, 1000 есе арттыру, ал бөлінді өзгермейді:

    • 15 : 2,5 = 150 : 25 = 6 (бүтін санның соңына нөл жазамыз);
    • 0,026 : 0,05 = 2,6 : 5 = 0,52;
    • 24,24 : 2,4 = 242,4 : 24 = 10,1.

    Бөлінгіш бөлгіштен кіші болса, бөліндінің бүтін бөлігі — 0: «нөл бүтін» деп жазып, бөлуді үтірден кейін жалғастырамыз.

    ОйынОйша есептеп, сосын карточканы аударыңыз.
    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде үтірді тек бөлгіште жылжытады: 0,026 : 0,05 = 0,026 : 5 — бұл қате, бөлінді 100 есе кішірейіп кетеді. Үтірді екі санда да бірдей жылжытамыз: 2,6 : 5 = 0,52.

    3

    Жай бөлшектер: көбейту, бөлу, ортақ бөлім

    6-сабақжұпты таңдаңыз
    ab · cd = a · cb · dab : cd = ab · dcab ± cd = ad ± bcbd

    Көбейту: алымды алымға, бөлімді бөлімге. Аралас санды алдымен бұрыс бөлшекке айналдырамыз: 2 12 · 45 = 52 · 45 = 2. Кез келген алымды кез келген бөліммен көбейтпес бұрын қысқартуға болады.

    Бөлу: екінші бөлшекті аударып, көбейтуге ауыстырамыз: 34 : 12 = 34 · 21 = 32 = 1 12. Бөлшек сызығы да — бөлу: 7/17 : 1/17 = 7/17 · 17/1 = 7.

    Қосу мен азайту — тек ортақ бөлім арқылы. Ортақ бөлім — бөлімдердің ЕКОЕ-сі. Оны әр бөлімге бөліп, қосымша көбейткіштерді табамыз да, алымдарды соларға көбейтеміз:

    34 + 56 + 78 = 18 + 20 + 2124 = 5924 = 2 1124

    Мұнда 4, 6, 8-дің ЕКОЕ-сі — 24: 24 : 4 = 6, 24 : 6 = 4, 24 : 8 = 3.

    Ойын2 12 : 1 14 есебінің шешу қадамдарын ретімен қойыңыз.
    Ойын «Қатені тап»Шешімде бір жол қате. Соны басыңыз.
    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде алымдарды алымдарға, бөлімдерді бөлімдерге қосады: 1/2 + 1/3 = 2/5 — бұл қате. Үлестердің өлшемі әртүрлі: алдымен ортақ бөлім, сосын тек алымдар қосылады: 3/6 + 2/6 = 5/6.

    4

    Амалдар реті

    6-сабаққадамдап орындаңыз
    ( ) → aⁿ → · , : → + , −

    Аралас өрнекте амалдарды мына ретпен орындаймыз:

    1. жақша ішіндегі амалдар;
    2. дәреже;
    3. көбейту мен бөлу — солдан оңға қарай, жазылу ретімен;
    4. қосу мен азайту — солдан оңға қарай.

    Бұл ереже бүтін сандарда да, ондық және жай бөлшектерде де бірдей. Алдымен әр амалдың үстіне оның нөмірін қойып алу — қатесіз есептеудің жақсы әдеті.

    Сабақтағы мысал7,52 − (0,025 + 0,001) : 0,05: жақша — 0,026; бөлу — 0,026 : 0,05 = 2,6 : 5 = 0,52; азайту — 7,52 − 0,52 = 7. Толығырақ — «Механизм» қойындысында.

    Кейде ортақ көбейткішті жақшаға шығару есепті жеңілдетеді: 14 · 14 − 14 · 410 · 70 = 14 · (14 − 4)700 = 140700 = 15 = 0,2.

    Ойын2 · 3² − (8 − 5) · 4 өрнегінің амалдарын орындалу ретімен қойыңыз.
    Ойын «Қатені тап»Шешімде бір жол қате. Соны басыңыз.
    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде 7,52 − 0,026 : 0,05 өрнегінде алдымен азайтады: 7,494 : 0,05 = 149,88 — бұл қате. Бөлу азайтудан бұрын орындалады: 7,52 − 0,52 = 7.

    5

    Амалдардың қасиеттері: ыңғайлы есептеу

    7-сабақтікбұрышты өзгертіңіз
    a + b = b + aa · b = b · aa(b + c) = ab + ac

    Орын ауыстырымдылық: қосылғыштардың және көбейткіштердің орнын ауыстыруға болады. Терімділік: оларды кез келген ретпен топтауға болады. Ыңғайлы жұптар іздейміз — қосындысы 100, көбейтіндісі 100 немесе 1000 болатындар:

    • 4 · 17 · 25 = (4 · 25) · 17 = 100 · 17 = 1700;
    • 37 + 84 + 63 = (37 + 63) + 84 = 184;
    • 25 · 32 = 25 · 4 · 8 = 800.

    Үлестірімділік: санды жақшаға көбейткенде әр қосылғышқа көбейтеміз, ал керісінше — ортақ көбейткішті жақшаға шығарамыз:

    17 · 23 + 17 · 77 = 17 · (23 + 77) = 17 · 100 = 1700

    99 · 7 = (100 − 1) · 7 = 700 − 7 = 693. Бөлшектерде де солай: 37 · 19 + 37 · 16 = 37 · 35 = 15.

    Оң жақтағы сурет — үлестірімділіктің ауданмен түсіндірмесі: биіктігі 17 екі тікбұрыштың ауданы бірге — бір үлкен тікбұрыштың ауданы.

    b23
    ОйынЫңғайлы тәсілмен ойша есептеп, карточканы аударыңыз.
    !
    ҰБТ тұзағы

    Ортақ көбейткішті шығарғанда жақшада қосынды қалады: 17 · 23 + 17 · 77 = 17 · (23 + 77), ал 17 · 23 · 77 емес. Жақшаны ашқанда әр мүшеге көбейтеміз: 8 · (10 + 2) = 80 + 16 = 96, ал 80 + 2 емес.

    6

    Таңбалары әртүрлі сандарды қосу-азайту

    7-сабақмысалды таңдаңыз
    −a − b = −(a + b)a + (−b) = a − b

    Плюс пен минус қатар тұрса, оларды бір таңбаға айналдырамыз: + (−) = −, − (−) = +. Сосын қосу ережесі:

    • екеуі де теріс — модульдерді қосып, алдына минус қоямыз. Сабақтағы мысал: −5 78 − 6 310 = −(5 78 + 6 310) = −12 740 = −12,175;
    • таңбалары әртүрлі — үлкен модульден кішісін азайтып, үлкен модульдің таңбасын қоямыз: −5 1318 + 12 1112 = 12 3336 − 5 2636 = 7 736.

    Аралас сандарда бүтін бөлікті бүтінмен, бөлшек бөлікті бөлшекпен қосамыз. Бөлшек бөлік бұрыс болып шықса (47/40), одан бүтін бөлігін бөліп аламыз: 11 4740 = 12 740.

    Жауапты ондық бөлшекке айналдыру үшін бөлімді 10, 100, 1000-ға жеткіземіз: 740 = 7 · 2540 · 25 = 1751000 = 0,175.

    ОйынНәтиже оң ба, теріс пе? Модульдерді салыстырып, топтарға бөліңіз.
    !
    ҰБТ тұзағы

    Екі теріс санды қосқанда кейде модульдерді азайтады: −5 7/8 − 6 3/10 = −17/40 — бұл қате. Қарызға қарыз қосылса, қарыз өседі: −12 7/40. Ал бөлшек бөлік бұрыс болса, бүтін бөлікке бірлікті ауыстыруды ұмытпаңыз: −11 47/40 емес, −12 7/40.

    7

    Шексіз периодты ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдыру

    7-сабақбөлшекті таңдаңыз
    0,(a) = a9…90,b(a) = ba − b9…90…0

    Периодты бөлшек — үтірден кейін бір цифр немесе цифрлар тобы шексіз қайталанатын ондық бөлшек: 0,777… = 0,(7). Қайталанатын бөлігі — период, оны жақшаға жазамыз. Үтір мен жақшаның арасындағы цифрлар — период алды.

    Таза периодты бөлшек (үтір мен жақшаның арасында цифр жоқ): алымға периодты жазамыз, бөлімге — периодта неше цифр болса, сонша 9:

    • 0,(7) = 7/9, 0,(3) = 3/9 = 1/3;
    • 0,(32) = 32/99 — калькуляторда 32 : 99 = 0,3232…;
    • 0,(417) = 417/999 = 139/333.

    Аралас периодты бөлшек: алымға — үтірден кейінгі барлық цифрлардан құралған сан минус жақшаға дейінгі сан; бөлімге — периодтағы цифрлар санындай 9, сосын период алдындағы цифрлар санындай 0:

    2,1(3) = 2 13 − 190 = 2 1290 = 2 215
    БөлшекАлымБөлімЖауабы
    0,(7)797/9
    0,(32)329932/99
    2,1(3)13 − 1 = 12902 2/15
    14,30(87)3087 − 30 = 3057990014 1019/3300

    Неге дәл 9 пен 0? Жауабы «Механизм» қойындысында: санды 10-ға, 100-ге көбейтіп, «құйрықтары» бірдей екі санды азайтамыз.

    ОйынОйша айналдырып, карточканы аударыңыз.
    Ойын «Қатені тап»Шешімде бір жол қате. Соны басыңыз.
    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде 0,(32)-ні 32/100 деп жазады — бұл қате: 32/100 = 0,32, мұнда период жоқ. Периодқа бөлімде тоғыздар сәйкес келеді: 32/99. Ал аралас периодта алымнан период алдындағы санды азайтуды ұмытпаңыз: 2,1(3) = 2 12/90, ал 2 13/90 емес.

    8

    Рационал коэффициентті теңдеулер

    7-сабаққадамдап шешіңіз
    ab = cd ⇒ a · d = b · ck(x + m) = n ⇒ x = n : k − m

    Теңдеуде коэффициенттер ондық немесе жай бөлшек болса да, шешу жолы бірдей: белгісізі бар мүшені бір жаққа, сандарды екінші жаққа жинаймыз. Мүшені «=» белгісінің арғы жағына шығарғанда таңбасы өзгереді.

    Пропорция түріндегі теңдеуді айқас көбейтумен шешеміз: x4 = 68 ⇒ 8x = 24 ⇒ x = 3. Пропорцияның қасиеті: шеткі мүшелердің көбейтіндісі ортаңғы мүшелердің көбейтіндісіне тең.

    Сабақтағы мысал3 · (−35,2) = 1,1 · (40 − x): сол жағы −105,6; екі жағын 1,1-ге бөлеміз: −96 = 40 − x, демек x = 40 + 96 = 136.

    Жақшаны ашпай-ақ шешуге болады: 6,7 · (x + 29) = −536 болса, x + 29 = −536 : 6,7 = −80, x = −109. Жауабын тексеру — түбірді теңдеуге қойып көру.

    Ойын6,7 · (x + 29) = −536 теңдеуін шешу қадамдарын ретімен қойыңыз.
    !
    ҰБТ тұзағы

    x + 29 = −80 теңдеуінде кейде 29-ды оң жаққа таңбасын өзгертпей шығарады: x = −80 + 29 = −51 — бұл қате. Шығарылған мүшенің таңбасы өзгереді: x = −80 − 29 = −109.

    9

    Координаталық түзуде нүктелердің арақашықтығы

    7-сабақнүктелерді жылжытыңыз
    A(a), B(b): AB = |b − a| = |a − b|

    Координаталық түзуде A(a) мен B(b) нүктелерінің арақашықтығы — координаталар айырмасының модулі. Әдетте кейінгі нүктеден алдыңғысын азайтамыз; ретін ауыстырсақ та, модуль сол санды береді.

    Модуль ешқашан теріс болмайды: ұзындық — әрқашан оң сан (немесе 0).

    НүктелерЕсептеуҰзындық
    B(−3), D(3)|3 − (−3)| = |3 + 3|6
    P(−2), K(5,7)|5,7 − (−2)| = |5,7 + 2|7,7
    E(1), F(9)|9 − 1|8
    M(−1,5), P(1/2)|0,5 − (−1,5)| = |0,5 + 1,5|2
    C(6), K(−8)|6 − (−8)| = |6 + 8|14

    Нүктелер нөлдің екі жағында жатса, арақашықтық олардың модульдерінің қосындысына тең: |−2| + |5,7| = 7,7. Бір жағында жатса — модульдердің айырмасына.

    Кері есеп. A(x), B(5), AB = 3 болса, |5 − x| = 3: x = 2 немесе x = 8. Шартта x < 5 делінсе — тек x = 2.

    Бірінші нүкте a−2
    Екінші нүкте b5,7
    ОйынКесіндінің ұзындығын ойша тауып, карточканы аударыңыз.
    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде P(−2), K(5,7) үшін 5,7 − 2 = 3,7 деп есептейді — бұл қате: теріс координатаны азайтқанда минус пен минус плюс береді, 5,7 − (−2) = 5,7 + 2 = 7,7. Ал жауап теріс шықса (−7,7), модульді ұмытқаныңыз.

    10

    Есептерді талдау

    6 және 7-сабақтарқадамдап ашыңыз

    Сан түзулері, үлестер мен тікбұрыштар сандарға дәл сәйкес салынған. Модель жеңілдетілген: симуляцияда сандар −10-нан 10-ға дейін.