Түбірлер және дәрежелер

Режим

Параметрлер

Зерттеулер

0/4

8-сабақ · квадрат түбір

9–10-сабақтар · түрлендірулер

Зерттеуді басыңыз — сахна дайындалады, мұнда тапсырма шығады. Зерттеу сіздің жазбаларыңыз бойынша есептеледі: «Жазу» батырмасы.

Анықтама

Түбір: a = b ⇔ b² = a, b ≥ 0
Модуль: a² = |a|
Шығару: a²b = ab
Түйіндес: (a − b)(a + b) = a − b
Көрсеткіш: a^m/n = a^m

Шаршы және түбір

—

Қалай есептеледі

Не болып жатыр

Жазбалар

№	Мысал	Нәтиже
Әзірге жазба жоқ. «Жазу» батырмасын басыңыз.

Журнал

Басты ойТүбір шығару — дәрежеге шығаруға кері амал: a = b дегеніміз b² = a, ал a = b дегеніміз bⁿ = a. Түбірдің барлық қасиеттері осыдан шығады. Ал бөлшек көрсеткіш — түбірдің басқа жазылуы: a^m/n = a^m. Сондықтан түбірмен де, дәрежемен де бірдей ережелер бойынша есептейміз.

Квадрат түбірдің анықтамасы

8-сабақауданды өзгертіңіз

a = b ⇔ b² = a, b ≥ 0

Ауданы 144 см² болатын шаршыны алайық. Қабырғасын x десек, ауданы x · x = x². Демек x² = 144, ал квадраты 144-ке тең сан — 12, өйткені 12 · 12 = 144. Шаршының қабырғасы — 12 см.

a санының квадрат түбірі деп квадраты a-ға тең санды айтады. Квадрат түбірді табу амалын түбір шығару дейміз, ол квадраттауға кері амал. √ — түбір белгісі, оның астындағы сан — түбір асты.

5² = 25 және (−5)² = 25: 25-тің квадрат түбірлері — 5 және −5;
(−4) · (−4) = 16: 16-ның квадрат түбірлері — 4 және −4;
0-дің квадрат түбірі біреу ғана — 0, өйткені тек 0 · 0 = 0;
−25 санының квадрат түбірі жоқ: ешбір санның квадраты теріс болмайды.

Арифметикалық квадрат түбір — квадраты a-ға тең теріс емес сан. a белгісі әрқашан осы теріс емес мәнді білдіреді: 25 = 5, ал −5 емес. Мысалдар: 0 = 0, 1 = 1, 9 = 3, 0,64 = 0,8, 1625 = 45.

Ауданы S144

ҰБТ тұзағы

Кейде 25 = ±5 деп жазады — бұл қате: арифметикалық түбір теріс емес, 25 = 5. Екі мән ±5 — бұл x² = 25 теңдеуінің түбірлері.

Арифметикалық квадрат түбірдің қасиеттері

8-сабақмысалды таңдаңыз

a ≥ 0, a ≥ 0x² = a ⇒ x = ±ax² = |x|

Есеп шығару үшін төрт қасиетті жатқа білу керек:

Анықталу облысы. a өрнегі тек a ≥ 0 болғанда мағыналы: түбір астына 0, 0,1, 42, 300 жазуға болады, ал −1, −2 — болмайды.
Мәні теріс емес: a ≥ 0. 16 = 4, 36 = 6 — тек плюс.
Теңдеудің екі түбірі. a > 0 болса, x² = a теңдеуінің екі түбірі бар: x = ±a. Мысалы, x² = 25 ⇒ x = ±5; x² = 0,25 ⇒ x = ±0,5; x² = 2 ⇒ x = ±2.
Квадраттың түбірі — модуль: x² = |x|. 4² = |4| = 4 және (−4)² = |−4| = 4 — x-тің орнына оң сан қойсақ та, теріс сан қойсақ та, теңдік орындалады.

Тағы бір пайдалы теңдік: (a)² = a, a ≥ 0. Мысалы, (5)² = 5, 2 · 2 = 2.

ОйынОйша есептеңіз, сосын карточканы аударыңыз.

ҰБТ тұзағы

Кейде x² = x деп жазады — бұл қате: x теріс болса, түбір теріс болып шығар еді. Дұрысы — x² = |x|: (−7)² + 5² = 7 + 5 = 12.

Түбір астындағы амалдар

8-сабаққадамдап есептеңіз

a + b — алдымен a + b, сосын түбір

Түбір астында амал тұрса, алдымен түбір астындағы өрнекті есептейміз, сосын ғана түбір шығарамыз. Түбір астында теріс сан шықса — өрнектің мәні жоқ.

Өрнек	Түбір асты	Жауабы
(2 + 2)³	4³ = 64	8
16 + 21 − 53	37 − 53 = −16	мәні жоқ
−16 · 25	−(4 · 5)	−20
(−4)²	(−4) · (−4) = 16	4
6² + 8²	36 + 64 = 100	10

Түбірдің алдындағы минус — түбірдің сыртында: −16 = −4, мұнда бәрі дұрыс. Ал түбірдің астында теріс сан тұра алмайды.

ҰБТ тұзағы

Кейде 16 + 9 = 16 + 9 = 7 деп есептейді — бұл қате: қосындының түбірі түбірлердің қосындысына тең емес. Дұрысы: 16 + 9 = 25 = 5.

Иррационал сандар. Түбірді жуықтап есептеу

8-сабақ«Дәлірек» басыңыз

1,41 < 2 < 1,422 = 1,41421356…

Калькулятор 1444 үшін бірден 38 береді. Ал 2 үшін 1,4142135… — цифрлар шексіз жалғаса береді және ешқашан қайталанбайды. Квадраты дәл 2-ге тең ондық бөлшек табылмайды.

Сондықтан түбірді жуықтап бағалаймыз: 1² = 1 < 2 < 4 = 2², демек 1 < 2 < 2. Ондық дәлдікпен: 1,4 < 2 < 1,5, жүздік дәлдікпен: 1,41 < 2 < 1,42, өйткені 1,41² = 1,9881 < 2, ал 1,42² = 2,0164 > 2.

Иррационал сан — шексіз периодсыз ондық бөлшек: 2, 3, 5, 6, 7, π = 3,14159265… — бәрі иррационал. Латынның «ir» бөлігі «емес» дегенді білдіреді: иррационал — рационал емес.

Рационал сан ab түрінде жазылады; ол — ақырлы немесе шексіз периодты ондық бөлшек: 1,45, 1,538, 67, 1,(3) = 1,333… — бәрі рационал.

Барлық иррационал сан түбір арқылы жазыла бермейді (мысалы, π), және барлық түбір иррационал емес: 4 = 2, 9 = 3, тіпті 2 · 2 = 4 = 2.

Ойын «Рационал ма, иррационал ма?»Әр санды өз жиынына орналастырыңыз: алдымен санды, сосын жиынды басыңыз.

ҰБТ тұзағы

Кейде «түбір болса — иррационал» дейді — бұл қате: 0,64 = 0,8 және 16 = 4 — рационал сандар. Ал 0,(3) шексіз болса да периодты, сондықтан рационал: 0,(3) = 39 = 13.

Нақты сандар және жуық есептеулер

8-сабақдәлдікті таңдаңыз

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ RR — рационал және иррационал сандар

Рационал және иррационал сандар бірігіп нақты сандар жиынын құрайды, оны R әрпімен белгілейміз. N — натурал сандар, Z — бүтін сандар (…, −2, −1, 0, 1, 2, …), Q — рационал сандар. Натурал сандар бүтін сандардың ішінде, бүтін сандар — рационал сандардың ішінде, ал рационал сандар — нақты сандардың ішінде.

Нақты сандарды қосуға, азайтуға, көбейтуге және нөлден өзге санға бөлуге болады. Тұрмыстағы есептерде иррационал сандардың жуық мәндерін аламыз:

0,01 дәлдікпен: π + 3 ≈ 3,14 + 1,73 = 4,87;
0,001 дәлдікпен: 4,78 + 5,62 ≈ 2,186 + 2,371 = 4,557.

Дөңгелектеу. Қажет разрядтан кейінгі цифрға қараймыз: ол 5 немесе одан үлкен болса, соңғы цифрға 1 қосамыз, кіші болса — сол күйі қалдырамыз. 5,62 = 2,37065…: мыңдықтан кейін 6 тұр, сондықтан ≈ 2,371.

Кемімен және артығымен жуықтау. 0,(31) = 0,3131…: 0,1 дәлдікпен кемімен — 0,3, артығымен — 0,4; 0,01 дәлдікпен — 0,31 және 0,32.

Салыстыру. 3,(14) = 3,141414… пен π = 3,141592…: цифрларды солдан оңға қарай салыстырамыз, үтірден кейінгі төртінші цифрда 4 < 5, сондықтан π үлкен. Ал 0,13… мен 1,132 — бүтін бөлігі-ақ 0 < 1.

Периодты бөлшек → жай бөлшек: 0,(3) = 39 = 13 — период цифрлары бөлімде 9-мен жазылады.

ҰБТ тұзағы

Жуықтағанда цифрларды жай қиып тастау — кемімен жуықтау, дөңгелектеу емес: 5,62 ≈ 2,370 деп жазсақ, қате жауап шығады. Келесі цифр 6 болғандықтан, дұрысы 2,371.

Көбейтіндінің, бөліндінің және дәреженің түбірі

9-сабақмысалды қадамдап ашыңыз

ab = a · bab = aba²ⁿ = |aⁿ|

Өткен сабақтың төрт қасиетіне тағы үшеуін қосамыз:

Көбейтіндінің түбірі көбейткіштердің түбірлерінің көбейтіндісіне тең (a ≥ 0, b ≥ 0): 9 · 25 · 36 = 3 · 5 · 6 = 90.
Бөліндінің түбірі түбірлердің бөліндісіне тең (a ≥ 0, b > 0): 324121 = 1811 — 18² = 324, 11² = 121.
Дәреженің түбірі: жұп дәреже көрсеткішін 2-ге бөлеміз: 7⁶ = 7³ = 343, 8⁶ = 8³. Нәтиже теріс болып кетпес үшін модуль қоямыз.

Таңбаға назар. a¹⁰b⁶, мұндағы a ≥ 0, b < 0: a⁵ · |b³|, ал b < 0 болса b³ < 0, сондықтан |b³| = −b³. Жауабы: −a⁵b³.

Айырма-квадрат. Үлкен сандарды квадраттамаймыз, a² − b² = (a − b)(a + b) формуласын қолданамыз: 13² − 12² = 1 · 25 = 5.

Ортақ көбейткіш. 0,87 · 49 + 0,82 · 49 = 49 · 1,69 = 7 · 1,3 = 9,1.

ҰБТ тұзағы

Кейде 13² − 12² = 13 − 12 = 1 деп жазады — бұл қате: айырманың түбірі түбірлердің айырмасына тең емес. 13² − 12² = (13 − 12)(13 + 12) = 25, сондықтан жауабы 5.

Көбейткішті түбір алдына шығару және астына енгізу

9-сабақең үлкен толық квадратты табыңыз

a²b = abab = a²b, a ≥ 0mc ± nc = (m ± n)c

Шығару. Түбір астындағы санды толық квадрат × қалдық түрінде жазамыз да, толық квадраттың түбірін алдына шығарамыз: 288 = 144 · 2 = 122, 50 = 52, 60 = 4 · 15 = 215. Жай көбейткіштер тілінде: әр бірдей жұп түбірден бір көбейткіш болып шығады.

Енгізу. Алдындағы санды квадраттап, түбір астына енгіземіз: 132 = 169 · 2 = 338, 32 = 18.

Салыстыру — екі тәсіл. 288 пен 132: (1) шығарамыз — 122 < 132; (2) енгіземіз — 288 < 338. Түбір астындағылар әртүрлі қалса, екінші тәсіл ыңғайлы: бәрін түбір астына енгізіп, түбір астындағы сандарды салыстырамыз.

Ұқсас түбірлер — түбір астылары бірдей: 15 − 60 + 3135 = 15 − 215 + 915 = 815 (x − 2x + 9x = 8x сияқты қосамыз). 15 — 15 = 3 · 5, толық квадрат жоқ, оны өзгертпейміз.

Ойын «Ең үлкен толық квадрат»Түбір астынан шығатын ең үлкен толық квадратты таңдаңыз.

ОйынӨрнекті ықшамдау қадамдарын ретімен орналастырыңыз.

ҰБТ тұзағы

Кейде ең үлкен емес толық квадратты шығарып, тоқтап қалады: 72 = 218 — аяқталмаған, 18 = 9 · 2, сондықтан 72 = 62. Енгізгенде алдындағы сан квадратталады: 132 = 338, 26 емес.

Бөлімдегі иррационалдықтан арылту

9-сабақкөбейткішті таңдаңыз

cb = cbbca − b = c(a + b)a − b

Математикада бөлшектің бөлімінде түбір қалдырмаймыз. Бөлшектің алымы мен бөлімін бір санға көбейтуге болады — бөлшектің мәні өзгермейді: a · cb · c = ab. Екі жағдай бар:

Бөлімде жалғыз түбір — алымы мен бөлімін сол түбірге көбейтеміз, өйткені 6 · 6 = 6: 46 = 466 = 263.
Бөлімде қосынды немесе айырма — түйіндесіне көбейтеміз: айырма болса — қосындыға, қосынды болса — айырмаға. Сонда бөлімде (a − b)(a + b) = a² − b² шығады: 25 − 3 = 2(5 + 3)5 − 3 = 5 + 3.

Бөлімде әрдайым екі қосылғыш болады, сондықтан түйіндес өрнек те екі мүшелі. Айырма-квадрат бөлшекті қысқартуға да көмектеседі: a² − 5a − 5 = (a − 5)(a + 5)a − 5 = a + 5.

Түбір қашан мағыналы? x² + 9: x² ≥ 0, сондықтан x² + 9 > 0 кез келген x үшін — x кез келген сан бола алады.

Ойын «Қатені тап»Шешімде бір жол қате. Соны басыңыз.

ҰБТ тұзағы

Тек бөлімді көбейтіп, алымды ұмыту — қате: алымы да, бөлімі де бір өрнекке көбейтіледі. Түйіндесіне көбейткенде бөлімде айырма шығады: (5 − 3)(5 + 3) = 5 − 3 = 2, 5 + 3 емес.

n-ші дәрежелі түбір

10-сабақкестеден санды басыңыз

a = b ⇔ bⁿ = a8 = 2, өйткені 2³ = 8

a санының n-ші дәрежелі түбірі деп n-ші дәрежесі a-ға тең санды айтады. 3-дәрежелі түбірді кубтық түбір дейміз: 8 = 2, өйткені 2³ = 8.

Жұп пен тақ. xⁿ = a теңдеуін қарайық:

n — тақ: жалғыз түбір. x³ = 8 ⇒ x = 2; x³ = −8 ⇒ x = −2. Тақ дәрежелі түбір теріс саннан да алынады: −27 = −3, −32 = −2.
n — жұп, a > 0: екі түбір. x⁴ = 16 ⇒ x = ±2, өйткені 2⁴ = 16 және (−2)⁴ = 16. a < 0 болса, түбір жоқ.

Арифметикалық n-ші түбір — теріс емес a үшін n-ші дәрежесі a-ға тең теріс емес сан. Сондықтан 16 = 2 (−2 емес), ал −16 — мәні жоқ.

ҰБТ тұзағы

Кейде −8 мәні жоқ дейді — бұл қате: тақ дәрежелі түбір теріс саннан да алынады, −8 = −2. Мәні жоқ — жұп дәрежелі түбір астындағы теріс сан: −16.

n-ші дәрежелі түбірдің қасиеттері

10-сабаққасиетті тексеріңіз

ab = a · bab = aba^mk = a^ma = a

Квадрат түбірдің қасиеттері n-ші дәрежелі түбірге де орындалады (a, b ≥ 0):

(a)ⁿ = a: түбір мен сол дәреже бірін-бірі жояды — (8)³ = 8.
Көбейтінді — бөлек-бөлек: 8 · 64 = 2 · 4 = 8.
Бөлінді — алымы мен бөлімінен бөлек (b ≠ 0): 1258 = 52 = 2,5.
Көрсеткіштерді қысқарту: түбірдің дәрежесі мен түбір астындағы дәрежені бір санға қысқартуға болады: 8⁴ = 8² = 4 (6 мен 4 — екеуі де 2-ге бөлінеді). Сыртындағы дәрежені түбір астына енгізуге болады: (a)^k = a^k.
Түбірдің түбірі — дәрежелер көбейтіледі: 64 = 64 = 2.

Мысалдар: 1000 · 64 · (−27) = 10 · 4 · (−3) = −120; 49 · 64 · 100 = 7 · 8 · 10 = 560; 8 · 27 · 125 = 2 · 3 · 5 = 30; 27 · 2⁶ = 3 · 2² = 12; 6486 = 181 = 13.

ОйынТүбірді ойша табыңыз, сосын карточканы аударыңыз.

ҰБТ тұзағы

Көрсеткіштерді тек бөлуге (қысқартуға) болады: 8⁴ = 8². Оларды азайтуға болмайды: 8⁴ ≠ 8² (6 − 4 = 2 деп алу — қате).

Рационал көрсеткішті дәреже

10-сабақкөрсеткішті өзгертіңіз

a^m/n = a^m, a > 0a^−r = 1a^r

Алымы m2

Бөлімі n3

Бөлшек көрсеткішті дәрежені түбірмен жазамыз: бөлімі — түбірдің дәрежесі, алымы — санның дәрежесі. a^4/3 = a⁴, 3^2/3 = 3² = 9, a^1/n = a.

Мысалдар: 8^2/3 = 8² = 64 = 4; 27^2/3 = 3² = 9; 4^3/2 = 2³ = 8.

Қасиеттері бүтін көрсеткіштегідей (a, b > 0):

a^r · a^s = a^r+s	негіздері бірдей — көрсеткіштер қосылады
a^r : a^s = a^r−s	бөлгенде — азайтылады
(ab)^r = a^rb^r	көбейтіндінің дәрежесі
(ab)^r = a^rb^r	бөліндінің дәрежесі, b ≠ 0
(a^r)^s = a^rs	дәреженің дәрежесі — көбейтіледі: (a⁴)⁸ = a³²

Теріс көрсеткіш: a^−r = 1a^r — 2⁻³ = 18, 10^−√2 = 110^√2. Көрсеткіш иррационал болуы да мүмкін: a > 1 болса, a^α мәнін α-ның ондық жуықтаулары арқылы табады.

Түбірден дәрежеге: a · a = a^1/6 · a^1/6 = a^2/6 = a^1/3 = a.

ҰБТ тұзағы

Кейде 8^2/3 санын 8 · 23 деп есептейді — бұл қате: көрсеткіш көбейткіш емес. 8^2/3 = 64 = 4. Тағы бір тұзақ: көбейткенде көрсеткіштер қосылады — a^1/6 · a^1/6 = a^1/3, a^1/36 емес.

✎

Есептер талдауы

8–10-сабақтаршешімді қадамдап ашыңыз

Әр есепті алдымен өзіңіз шығарып көріңіз, сосын «Келесі қадам» батырмасымен тексеріңіз.