Числа и делимость — Лаборатория SABAQ

Что исследуем

Параметры

Вид

Число N360

Быстрый выбор

Что смотрим

Число a−6

Число b5

Действие

Зависимость

Ягоды, кг10

Масштаб карты

На местности, км3140

Число a24

Число b56

Пары из примеров

Исследования

0/7

Урок 1 · делимость

Урок 2 · целые числа и пропорция

Урок 3 · НОД и НОК

Нажмите на исследование — сцена подготовится, а здесь появится задание. Оно засчитывается по вашим записям: кнопка «Записать».

Справка

Дерево простых множителей

Урок 1

Меняйте число слева — дерево и признаки делимости пересчитываются

——

Как считается

Что происходит

Записи

№	Что задано	Результат
Пока нет записей. Нажмите «Записать».

Журнал

Цифры и числа. Разряды. Чётные и нечётные

Урок 1выберите число

Цифр всего десять: 0, 1, 2, …, 9. Цифра — это письменный знак, которым записывают число. Чисел бесконечно много: числом считают, измеряют, нумеруют. Поэтому «цифра 278» не бывает, а число 278 — бывает.

Место цифры в записи — её разряд: единицы, десятки, сотни. Разряды справа налево собирают в классы по три: класс единиц, тысяч, миллионов, миллиардов. В числе 754 три цифры — старший разряд сотни.

Натуральные числа — числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3, … Множество натуральных чисел обозначают ℕ. Наименьшее натуральное число — 1, наибольшего нет. 0 — не натуральное число: нулём предметы не считают.

Натуральные числа бывают чётные и нечётные. Чётное число делится на 2, его записывают 2n. Нечётное на единицу больше чётного: 2n + 1. Чётность видна по последней цифре: 0, 2, 4, 6, 8 — чётное, 1, 3, 5, 7, 9 — нечётное.

ПримерПри n = 1: 2 · 1 = 2 — чётное, 2 · 1 + 1 = 3 — нечётное. При n = 10: 2 · 10 = 20 и 2 · 10 + 1 = 21.

Если 2n + 1 = 27, то 2n = 26, n = 13. Сумма двух соседних чисел n и n + 1 всегда нечётна: 2n + 1; например, 12 + 13 = 25.

Ловушка ЕНТ

Иногда 0 включают в натуральные числа — это неверно: натуральный ряд начинается с 1. А в вопросе «сколько цифр…» отвечают про знаки 0–9, а не про числа.

Признаки делимости

Урок 1введите число

На	Признак	Пример
2	последняя цифра чётная	128
3	сумма цифр делится на 3	111: 1 + 1 + 1 = 3
4	две последние цифры — число, кратное 4	224: 24 : 4 = 6
5	оканчивается на 0 или 5	15, 20, 35
6	делится и на 2, и на 3	12: чётное, 1 + 2 = 3
8	три последние цифры — число, кратное 8 (или 000)	2808: 808 : 8 = 101
9	сумма цифр делится на 9	252: 2 + 5 + 2 = 9
10	оканчивается на 0	10, 100, 1000

Число

Признак на 6 «составной»: 6 = 2 · 3, поэтому проверяют оба признака. Так же на 15 — признаки 3 и 5, на 45 — признаки 5 и 9. Но на 12 нельзя проверять «на 2 и на 6»: 2 и 6 имеют общий делитель, и число 6 делится на 2 и на 6, а на 12 — нет. Берут взаимно простые множители: 12 = 3 · 4.

ИграРазложите числа по корзинам: на что делится число — только на 2, только на 3, на оба (значит, на 6) или ни на одно.

Ловушка ЕНТ

Иногда признак делимости на 4 проверяют по последней цифре — это неверно: смотрят на две последние цифры. 134 оканчивается на 4, но 34 на 4 не делится, и 134 тоже. Признак на 8 — по трём последним цифрам.

Простые и составные числа. Разложение на множители

Урок 1раскладывайте по шагам

Простое число делится только на 1 и на само себя: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … Составное имеет больше двух делителей: 4 (делители 1, 2, 4), 6 (1, 2, 3, 6). Число 1 — ни простое, ни составное: у него один делитель. Ряд простых чисел начинается с 2 — это единственное чётное простое число.

Разложение на простые множители делают столбиком: делим на самое маленькое простое число (2), пока делится; затем на 3, на 5, на 7… пока не получим 1. Справа от черты — простые множители.

Пример12 = 2 · 2 · 3 = 2² · 3; 21 = 3 · 7; 25 = 5 · 5 = 5². Перемножьте множители — получится исходное число.

Большое число на простоту проверяют признаками делимости и делением на простые 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … Достаточно простых, квадрат которых не больше числа: для 337 — до 17, потому что 19² = 361 > 337. Ни одно не делит 337, значит, 337 — простое.

КарточкиПростое, составное или ни то ни другое? Подумайте, потом переверните карточку.

Взаимно простые числа — числа, у которых нет общих делителей, кроме 1: 2 и 3, 4 и 9, 12 и 35. Сами числа при этом могут быть составными. Пары 8 и 40, 5 и 20, 7 и 14 — не взаимно простые: у них есть общий делитель больше 1.

Ловушка ЕНТ

Иногда ряд простых чисел начинают с 1 — это неверно: у 1 только один делитель, ряд простых начинается с 2. И 111 — не простое: сумма цифр 3, значит, 111 = 3 · 37.

Делители и кратные

Урок 1собирайте прямоугольники

Делитель числа a — число, на которое a делится без остатка. Кратное числа a — число, которое делится на a без остатка: a, 2a, 3a, …

Для 8: делители 1, 2, 4, 8 — их конечное число, все не больше 8. Кратные 8, 16, 24, 32, 40, … — их бесконечно много, все не меньше 8. Само число — и делитель, и кратное самого себя.

Делители удобно искать парами: если из N квадратиков сложить прямоугольник a × b, то a и b — делители N. Простое число складывается только в одну полоску 1 × p.

N = p^k · q^m → делителей (k + 1)(m + 1)

Пример12 = 2² · 3: делителей (2 + 1)(1 + 1) = 6 — это 1, 2, 3, 4, 6, 12. 72 = 2³ · 3²: 4 · 3 = 12 делителей.

Квадратиков N12

Ловушка ЕНТ

В заданиях с несколькими ответами просят не само число, а кратные ответу. Если ответ 12, верными будут 12, 24, 36, … а 6 и 4 — это делители 12, а не кратные. Не путайте направления: делитель ≤ числа, кратное ≥ числа.

Целые числа. Координатная прямая. Модуль

Урок 2тяните точку

Точка A−4

Целые числа ℤ — натуральные числа, к которым добавили 0 и отрицательные числа: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … Натуральные — часть целых: ℕ ⊂ ℤ.

На координатной прямой 0 — начало отсчёта, справа положительные числа, слева отрицательные. Модуль числа |a| — расстояние от 0 до точки. Расстояние не бывает отрицательным: |5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0.

Сравнение. Из двух чисел больше то, что правее. Из двух отрицательных меньше то, что дальше от нуля (больше по модулю): −7 < −2, −25 < −16.

Числа 5 и −5 — противоположные: отличаются только знаком, их сумма 0. Расстояние между точками a и b равно |a − b|: от −6 до 2 — |2 − (−6)| = 8.

Ловушка ЕНТ

Иногда говорят, что −25 больше −16, «потому что 25 больше 16», — это неверно: −25 левее на прямой, значит, −25 < −16. Чем больше модуль отрицательного числа, тем число меньше.

Действия с целыми числами

Урок 2найдите ошибку

Сложение. Знаки одинаковые — модули складываем и ставим общий знак: −6 + (−5) = −11. Знаки разные — из большего модуля вычитаем меньший и ставим знак числа с большим модулем: 5 + (−6) = −1, −18 + 3 = −15.

Вычитание — сложение с противоположным: a − (−b) = a + b. 4 − (−3) = 7, 8 − (−9) = 17, −5 − (−7) = −5 + 7 = 2, −10 − 7 = −17.

Умножение и деление. Сначала определяем знак, потом считаем модули. Одинаковые знаки — плюс, разные — минус. Для деления то же правило.

Знаки	Результат	Пример
(+) · (+)	+	5 · 3 = 15
(+) · (−)	−	5 · (−3) = −15
(−) · (+)	−	(−5) · 3 = −15
(−) · (−)	+	(−5) · (−3) = 15

Степень с отрицательным основанием: чётное число минусов даёт плюс, нечётное — минус. (−2)³ = −8, (−3)² = 9, но −2⁴ = −16: здесь в степень возводится только 2.

Ловушка ЕНТ

Иногда в выражении −5 − (−7) забывают поменять знак у вычитаемого и получают −12 — это неверно: вычесть −7 значит прибавить 7, ответ 2.

Порядок действий

Урок 2выполняйте по шагам

Длинный пример решают по правилу, номер действия удобно надписать сверху в кружке:

Сначала — действия в скобках.
Затем умножение и деление — по порядку слева направо.
В конце сложение и вычитание — тоже слева направо.

Умножение не «старше» деления: 25 · 5 : 5 считают слева направо — 125 : 5 = 25. Нажимайте на знак действия, которое нужно выполнить следующим.

ИграРасставьте этапы решения в правильном порядке.

Ловушка ЕНТ

Иногда сначала вычитают, потому что минус стоит левее: 17 − 5 · 6 считают как 12 · 6 — это неверно. Умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания: 17 − 30 = −13.

Отношение и пропорция. Прямая и обратная пропорциональность

Урок 2крест-накрест

Отношение двух чисел — их частное: 5 : 10, 721. Пропорция — равенство двух отношений: ab = cd, или a : b = c : d.

a и d — крайние члены, b и c — средние. Основное свойство: произведение крайних равно произведению средних — решаем «крест-накрест»:

a · d = b · c

Крайние можно поменять местами между собой, средние — тоже: пропорция останется верной. Неизвестный член равен произведению двух чисел «по диагонали», делённому на третье.

Пропорция помогает выводить формулы: из a = Fm (запишем a1 = Fm) получаем F = a · m и m = Fa.

Прямая пропорциональность: одна величина растёт — другая растёт во столько же раз (или обе уменьшаются). Ткани вдвое больше — платьев вдвое больше. Пропорцию составляют «друг под другом» и пишут как есть: 410 = 5x.

Обратная пропорциональность: одна растёт — другая уменьшается во столько же раз. Рабочих вдвое больше — времени вдвое меньше; скорость 60 → 120 км/ч — время в пути вдвое меньше. Постоянно произведение: x₁ · y₁ = x₂ · y₂.

ПримерНа 4 кг ягод нужно 5 кг сахара. На 10 кг ягод (прямая): x = 10 · 54 = 12,5 кг. Шесть рабочих делают работу за 4 дня; восемь рабочих (обратная): x = 6 · 48 = 3 дня.

ИграПрямая или обратная? Разложите ситуации по корзинам.

Ловушка ЕНТ

Иногда обратную пропорциональность решают как прямую: «2 рабочих — 10 ч, 4 рабочих — x» → x = 20 ч. Это неверно: рабочих больше — времени меньше: 2 · 10 = 4 · x, x = 5 ч. Сначала решите, какая зависимость.

Масштаб

Урок 2переводите единицы

на картена местности = 1M1 км = 10³ м = 10⁵ см = 10⁶ мм

Масштаб 1 : M показывает, во сколько раз расстояние на карте меньше настоящего. У масштаба нет единиц измерения, поэтому длины на карте и на местности нужно перевести в одинаковые единицы — обычно километры в сантиметры (· 10⁵).

Свободные нули удобно переносить в степень десяти: 3140 км = 3140 · 10⁵ см = 314 · 10⁶ см; 2 000 000 = 2 · 10⁶.

ПримерМагистраль 3140 км, карта 1 : 2 000 000. x314 · 10⁶ = 12 · 10⁶, x = 314 : 2 = 157 см. На карте могут быть только сантиметры или миллиметры, не километры.

На карте, см5

Ловушка ЕНТ

Иногда считают, что в 1 км 10³ сантиметров — это неверно: 1 км = 10⁵ см (1000 м по 100 см). Ошибка в степени даёт ответ в 100 раз больше или меньше.

НОД и НОК

Урок 3выберите пару

НОД — наибольший общий делитель: самое большое число, на которое делятся все данные числа. НОК — наименьшее общее кратное: самое маленькое число, которое делится на все данные.

По спискам. Делители 8: 1, 2, 4, 8; делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Общие — 1, 2, 4, наибольший НОД(8; 12) = 4. Кратные 8: 8, 16, 24, 32…; кратные 12: 12, 24, 36… Первое общее — НОК(8; 12) = 24.

Через разложение. Раскладываем числа на простые множители.

НОД — произведение общих множителей (повторяющихся во всех числах; пару считаем один раз).
НОК — выписываем все множители наибольшего числа и дописываем «разные» — те множители остальных чисел, которых ещё нет.

НОД(a; b) · НОК(a; b) = a · b

Три числа24 = 2³ · 3, 56 = 2³ · 7, 70 = 2 · 5 · 7: во всех трёх есть только одна двойка — НОД(24; 56; 70) = 2. Для НОК(24; 56; 92): 92 = 2² · 23; берём множители 92 (2, 2, 23), дописываем недостающую третью двойку и 7 из 56, затем 3 из 24: НОК = 2³ · 3 · 7 · 23 = 3864.

Как узнать задачу на НОД или НОК. «Одновременно, снова вместе, через сколько» — НОК: звонки через 12 и 18 минут прозвенят вместе через 36 минут. «Наибольшее число одинаковых наборов, разрезать на равные куски наибольшей длины» — НОД: 36 яблок и 24 груши — в 12 пакетов.

У взаимно простых чисел НОД = 1, а НОК = a · b: НОК(8; 15) = 120. Если меньшее число делит большее, то НОД — меньшее, НОК — большее: НОД(6; 18) = 6, НОК(6; 18) = 18.

НОК пригодится для общего знаменателя дробей, НОД — для сокращения: 2436 = 24 : 1236 : 12 = 23.

Ловушка ЕНТ

Иногда НОД и НОК путают: для 24 и 56 отвечают 168 на вопрос про НОД. Это неверно: НОД не больше меньшего числа (8), а НОК не меньше большего (168). Проверка: 8 · 168 = 1344 = 24 · 56.

Рациональные числа. Виды дробей

Урок 3наведите на множества

Наведите на множество или на число.

Рациональное число — число, которое можно записать дробью mn, где m — целое, n — натуральное. Множество обозначают ℚ. Цепочка множеств: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ.

Рациональны все целые числа (−2 = −21, 0 = 01), обыкновенные и десятичные дроби (−1,5 = −32), бесконечные периодические дроби (0,(3) = 13). Дальше по курсу будут иррациональные числа — они дробью не записываются.

Дробь	Признак	Пример
Правильная	числитель меньше знаменателя	3/4
Неправильная	числитель ≥ знаменателя	7/5
Смешанное число	целая часть и правильная дробь	7/5 = 1 2/5
Десятичная	знаменатель 10, 100, … пишется через запятую	2,5
Периодическая	группа цифр повторяется бесконечно	0,(4); 0,7(8)

ИграДля каждого числа найдите самое «узкое» множество, в которое оно входит.

Бесконечные периодические дроби

Урок 3соберите дробь

Цифры в скобках — период: они повторяются бесконечно. 0,(4) = 0,4444…; 0,7(8) = 0,78888… — семёрка стоит один раз, восьмёрка повторяется.

Чистая периодическая дробь: в числитель — период, в знаменатель — столько девяток, сколько цифр в периоде. Целую часть просто переписываем.

0,(4) = 490,(25) = 25994,(30) = 43099

Смешанная периодическая: числитель — число без скобок минус часть до периода; в знаменателе столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр до периода.

0,7(8) = 78 − 790 = 71903,21(456) = 321456 − 2199900 = 32143599900

Целая часть До периода Период

Ловушка ЕНТ

Иногда 0,7(8) переводят как 7899 или 7890 — это неверно: из числителя вычитают часть до периода (7), а в знаменателе девятка за цифру периода и ноль за цифру до периода: 71/90. И 0,(9) = 99 = 1.

Проценты

Урок 3меняйте цену

Сначала изменить на+10 %

Потом изменить на−10 %

Процент — сотая часть: 1 % = 1100 = 0,01. Всё целое — 100 %. p % от N = p100 · N: 2 % от 10 см — 0,2 см; 50 % от 300 тенге — 150 тенге.

Дробь	½	¼	¾	⅛	⅕
Проценты	50 %	25 %	75 %	12,5 %	20 %

Задачи удобно решать пропорцией: что принято за 100 % — под тем же 100. 500 насосов — 100 %, x — 60 %: x = 500 · 60100 = 300. 138 страниц — это 23 %, всего x — 100 %: x = 138 · 10023 = 600.

Если цена меняется дважды, второй процент считают от новой цены: 100 → +10 % → 110 → −10 % → 99 тенге. Цена стала меньше на 1 %.

Ловушка ЕНТ

Иногда «+10 %, потом −10 %» считают как «цена не изменилась» — это неверно: 10 % от 110 больше, чем 10 % от 100. Итог 1,1 · 0,9 = 0,99 — минус 1 %. И не путайте «найти процент от числа» и «найти число по его проценту»: 23 % книги — 138 страниц, значит, вся книга — 600, а не 138 · 0,23.

Разбор задач

Уроки 1, 2, 3открывайте по шагам

Все примеры можно проверить на симуляции. Модели упрощены.