Дроби

Режим

Исследования

0/4

Урок 4 · обыкновенные и десятичные

Урок 18 · алгебраические дроби

Нажмите на исследование — сцена подготовится, а здесь появится задание. Исследование засчитывается по вашим записям: кнопка «Записать».

Справка

Сложение: a/c + b/c = (a + b)/c
Умножение: a/b · c/d = ac/bd
Деление: a/b : c/d = a/b · d/c
Смешанное: a b/c = (a · c + b)/c
ОДЗ: знаменатель ≠ 0

Полоски: четыре действия

—

Как считается

Что происходит

Записи

№	Пример	Результат
Пока нет записей. Нажмите «Записать».

Журнал

Главная мысльАлгебраическая дробь — это та же дробь, только вместо чисел в числителе и знаменателе стоят многочлены. Правила одни и те же: общий знаменатель при сложении, «переверни вторую» при делении, сокращаем только множители. Добавляется одно: знаменатель не может быть нулём — это ОДЗ.

Обыкновенные дроби: правильные, неправильные, смешанные

Урок 4двигайте числитель

a bc = a · c + bc

Дробь состоит из числителя (сверху), знаменателя (снизу) и дробной черты между ними. Знаменатель показывает, на сколько равных долей разрезали целое, числитель — сколько таких долей взяли.

Правильная дробь: числитель меньше знаменателя, например 3/7 — меньше единицы.
Неправильная: числитель больше знаменателя (или равен ему), например 8/7.
Смешанное число — есть целая часть: 1 17.

Из неправильной — в смешанное: делим числитель на знаменатель с остатком. В 8 одна семёрка и остаток 1: 8/7 = 1 17.

Обратно: целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель, знаменатель тот же: 5 35 = 5 · 5 + 35 = 285.

Ответ на ЕНТ может быть записан неправильной дробью, смешанным числом или десятичной дробью — нужно уметь переходить между всеми видами.

Числитель8

Знаменатель7

ИграКакая это дробь? Разложите по группам.

Сложение и вычитание: общий знаменатель

Урок 4выберите пару

ac ± bc = a ± bc

Одинаковые знаменатели — складываем (вычитаем) числители, знаменатель переписываем: 5/7 + 3/7 = 8/7 = 1 17, 5/7 − 3/7 = 2/7.

Разные знаменатели — сначала находим общий знаменатель: наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Удобно идти по большему числу: 9 на 6 не делится, 9 + 9 = 18 делится — НОК(9, 6) = 18.

Делим общий знаменатель на знаменатель каждой дроби — получаем дополнительные множители (18 : 9 = 2, 18 : 6 = 3) и умножаем на них числители:

29 + 56 = 4 + 1518 = 1918 = 1 118

Если знаменатели взаимно простые (общий делитель только 1), общий знаменатель — их произведение, а дополнительные множители «меняются местами»: у 3/5 и 6/7 знаменатель 35, множители 7 и 5.

Смешанные числа: целые складываем с целыми, дробные части — с дробными: 5 35 + 8 67 = 13 5135 = 14 1635.

Вычитание с «займом»5 35 − 67 = 5 2135 − 3035: 21 меньше 30, поэтому занимаем единицу у целой части и записываем её как 35/35: 4 35 + 2135 − 3035 = 4 2635. По шагам — во вкладке «Механизм».

Игра «Найди ошибку»В решении одна неверная строка. Нажмите на неё.

Ловушка ЕНТ

Иногда складывают числители и знаменатели: 2/9 + 5/6 = 7/15 — это неверно. Доли разного размера складывать нельзя: сначала общий знаменатель, и складываются только числители. Ответ 19/18.

Умножение и деление дробей

Урок 4двигайте доли

ab · cd = a · cb · dab : cd = ab · dc

При умножении и делении общий знаменатель не нужен. Всё записываем под одну черту и сокращаем любой числитель с любым знаменателем, а потом перемножаем то, что осталось:

29 · 38 = 2 · 39 · 8 = 1 · 13 · 4 = 112

Деление: вторую дробь переворачиваем и умножаем: 5/7 : 3/7 = 5/7 · 7/3 = 5/3 = 1 23.

Смешанные числа перед умножением и делением обязательно переводим в неправильные дроби: 5 35 · 107 = 28 · 105 · 7 = 8 — произведение дробей может оказаться целым числом.

Справа умножение показано площадью: доля a/b от ширины и доля c/d от высоты единичного квадрата пересекаются в прямоугольнике из a · c клеток, а всего клеток b · d.

Порядок действий — как с целыми числами: сначала скобки, потом умножение и деление, потом сложение и вычитание; одинаковые по старшинству действия — слева направо.

Первая дробь a/b2/3

Вторая дробь c/d3/4

ИграРасставьте шаги решения 5 35 : 2 25 по порядку.

ИграПосчитайте сами, потом переверните карточку.

Ловушка ЕНТ

При делении переворачивают вторую дробь, а не первую. И нельзя делить смешанные числа «по частям» (целые на целые, дроби на дроби): 5 3/5 : 2 2/5 = 28/5 · 5/12 = 7/3 = 2 1/3, а не 4 (так выходит, если делить 5 на 2 и 3/5 на 2/5 отдельно).

Десятичные дроби: разряды и перевод

Урок 4выберите дробь

34 = 3 · 254 · 25 = 75100 = 0,75

Десятичная дробь записывается через запятую. Важно, сколько цифр после запятой: одна — десятые, две — сотые, три — тысячные, четыре — десятитысячные.

Обыкновенную → в десятичную. Домножаем числитель и знаменатель на одно число так, чтобы в знаменателе получилось 10, 100, 1000…: 5/8 = 625/1000 = 0,625 (8 · 125 = 1000). Знаменатель 100 — «забираем» у числителя два знака: 257/100 = 2,57, 45/10 = 4,5. Целая часть смешанного числа не меняется: 5 1/2 = 5,5.

Если знаменатель (после сокращения) содержит множители, кроме 2 и 5, до 10, 100, 1000 его не довести: делим числитель на знаменатель и получаем бесконечную периодическую дробь: 2/3 = 0,666… = 0,(6).

Десятичную → в обыкновенную. Цифры после запятой пишем в числитель, в знаменатель — 1 и столько нулей, сколько цифр после запятой; потом сокращаем:

Десятичная	Цифр после запятой	Обыкновенная
0,35	2 → 100	35/100 = 7/20
7,045	3 → 1000	7 45/1000 = 7 9/200
25,0001	4 → 10 000	25 1/10 000

Складывая десятичные дроби, складываем разряд с разрядом — запятая под запятой: 2,5 + 3,4 = 5,9.

ИграКакая получится десятичная дробь? Смотрите на знаменатель.

Ловушка ЕНТ

Иногда думают, что 5/8 = 0,58 или 0,5 — это неверно: цифры дроби не «склеивают» через запятую. Знаменатель доводим до 1000: 5/8 = 0,625.

Округление десятичных дробей

Урок 4двигайте число

0, 1, 2, 3, 4 → вниз5, 6, 7, 8, 9 → вверх (+1)

Округлить до разряда — оставить цифры до этого разряда, а остальные отбросить. Решает первая отбрасываемая цифра:

от 0 до 4 — последнюю оставленную цифру не меняем: 3,44 ≈ 3,4;
от 5 до 9 — к последней оставленной цифре прибавляем 1: 2,68 ≈ 2,7.

До десятых — одна цифра после запятой, до сотых — две, до тысячных — три; до единиц (до целых) — запятой не остаётся. Знак ≈ показывает, что число приближённое.

На числовой прямой правило видно: число округляется к ближайшему из двух соседних значений, а ровно посередине (цифра 5) — вверх.

Пример урока826,4739: до тысячных — 826,474 (отбрасываем 9); до сотых — 826,47 (отбрасываем 3); до единиц — 826 (первая отбрасываемая цифра — 4 в разряде десятых).

Число2,684

ИграОкруглите в уме, потом переверните карточку.

Ловушка ЕНТ

Иногда округляют «по цепочке»: 826,4739 → 826,474 → 826,47 → 826,5 → 827 — это неверно. Смотрим только на первую отбрасываемую цифру исходного числа: при округлении до единиц это 4, поэтому 826,4739 ≈ 826.

Дробно-рациональное выражение и ОДЗ

Урок 18выберите дробь

p(x)q(x), q(x) ≠ 0

Подставим x0

Дробно-рациональное выражение — дробь, у которой в числителе и знаменателе стоят целые выражения (многочлены): x² − x − 23x² − 5x − 2. По сути это обычные дроби, только вместо чисел — квадратные трёхчлены, формулы сокращённого умножения и т. д.

Делить на ноль нельзя, поэтому выражение имеет смысл только там, где знаменатель не равен нулю. Все такие значения переменной — область допустимых значений (ОДЗ).

приравниваем знаменатель к нулю;
решаем уравнение — получаем «запрещённые» значения;
выкалываем их: x ≠ … или промежутками.

Примерx + 1x² − 4: x² − 4 = (x − 2)(x + 2) = 0 при x = ±2. ОДЗ: x ≠ ±2, то есть (−∞; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; +∞).

Если знаменатель никогда не равен нулю (например, x² + 1 ≥ 1), ОДЗ — все числа.

ИграИмеет ли дробь смысл при x = 2? Разложите по группам.

Ловушка ЕНТ

ОДЗ находят по знаменателю, а не по числителю. У (2c + 4)/(16 − 8c) запрещено только c = 2; при c = −2 дробь равна нулю — это допустимо.

Сокращение: сначала разложить на множители

Урок 18по шагам

a · cb · c = abax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

«Упростить» и «сократить» дробь — одно и то же. Через плюсы сокращать нельзя, поэтому числитель и знаменатель сначала раскладывают на множители, потом зачёркивают одинаковые множители.

Приём	Пример
Общий множитель за скобку	2x + 4 = 2(x + 2)
Разность квадратов	x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
Квадрат суммы	4x² + 12x + 9 = (2x + 3)²
Разность и сумма кубов	a³ ∓ b³ = (a ∓ b)(a² ± ab + b²)
Трёхчлен через корни	x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1)
Группировка	x³ + 4x² − 9x − 36 = (x + 4)(x² − 9)

Квадратный трёхчлен: находим корни (по Виета, если a = 1; иначе через D = b² − 4ac) и пишем a(x − x₁)(x − x₂). Подбор по Виета удобно начинать с произведения: для x² − 9x + 14 произведение 14, сумма 9 — это 7 и 2.

Если не видно формулы — попробуйте вынести общее за скобку, в том числе парами: 5x² − 5xy − 7x + 7y = 5x(x − y) − 7(x − y) = (x − y)(5x − 7).

ИграМожно ли сократить дробь? Разложите по группам.

Игра «Найди ошибку»В решении одна неверная строка. Нажмите на неё.

Ловушка ЕНТ

Иногда в (x + 3)/(x + 5) «сокращают» x — это неверно: x здесь слагаемое, а не множитель. Дробь не сокращается. Сократить можно только то, на что умножен весь числитель и весь знаменатель.

Действия с алгебраическими дробями

Урок 18проверьте числом

ac ± bc = a ± bcab : cd = a · db · c(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

Подставим x3

Всё как с числами. Сложение и вычитание — через общий знаменатель: раскладываем знаменатели на множители, общий знаменатель собираем из всех множителей, недостающие множители дописываем к числителям.

1x − 1 + 1x + 1 = (x + 1) + (x − 1)(x − 1)(x + 1) = 2xx² − 1

Противоположные скобки. m − n = −(n − m): если знаменатели отличаются только порядком, выносим минус — и знак перед дробью меняется. 1/(a − b) + 1/(b − a) = 1/(a − b) − 1/(a − b) = 0.

Умножение — числитель на числитель, знаменатель на знаменатель, деление — переворачиваем вторую дробь, степень −1 тоже переворачивает дробь: (a/b)⁻¹ = b/a.

Минус перед дробью относится ко всему числителю: … − 4x − 12x + 3 → в общем числителе − 4x + 1.

Справа — способ проверить себя: подставьте число в исходное выражение и в ответ. Значения совпадают везде, кроме точек вне ОДЗ.

ИграРасставьте шаги упрощения по порядку: (1 + nn² − mn − 1 − mm² − mn) · (m + nm²n − n²m)⁻¹.

Ловушка ЕНТ

Скобки (n − m) и (m − n) похожи, но отличаются знаком. Сокращая их «как одинаковые», теряют минус: (m − n)/(n − m) = −1, а не 1.

Многоэтажные дроби и сложные выражения

Урок 18сложите этажи

abcd = ab : cd = a · db · c

Многоэтажная дробь — дробь, в числителе или знаменателе которой снова дробь. Главная черта означает деление, поэтому: крайние (a и d) идут в числитель, средние (b и c) — в знаменатель.

Сложные примеры решаем по действиям: сначала упрощаем каждую дробь отдельно (раскладывая на множители, часто через ФСУ), потом выполняем действия между результатами.

Пример	Приём	Ответ
(a⁴ − 1)/(1 − a⁸)	1 − a⁸ = (1 − a⁴)(1 + a⁴), минус за скобку	−1/(1 + a⁴)
(x⁶ − 1)/(3x³ − 3x)	x⁶ − 1 = (x²)³ − 1³ — разность кубов	(x⁴ + x² + 1)/(3x)
(ab/(a − b) + a)(ab/(a + b) − a) : a²b²/(b² − a²)	по действиям, b² − a² = −(a − b)(a + b)	(a/b)²

Сначала упростить, потом подставить. Если в задании просят значение при конкретном x, подставлять число в громоздкое выражение — долго и легко ошибиться. Упрощаем — и подставляем в короткий ответ.

Пример урокаУпростите и найдите значение при x = 3: 3x + 22x + 3 − 4x − 12x + 3 + 2x² + 3x4x² + 12x + 9. Последняя дробь: x(2x + 3)/(2x + 3)² = x/(2x + 3). Теперь знаменатель общий: (3x + 2 − 4x + 1 + x)/(2x + 3) = 3/(2x + 3). При x = 3: 3/9 = 1/3.

Игра «Найди ошибку»В решении одна неверная строка. Нажмите на неё.

Ловушка ЕНТ

Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого: (m² − 7) − (m² − 7) = m² − 7 − m² + 7 = 0. Если забыть поменять знак у одного слагаемого, получится неверный ответ вроде 2m² или −14.

Разбор задач

Уроки 4 и 18открывайте по шагам

Полоски, круги и графики построены точно по числам. Модель упрощена: в симуляции знаменатели не больше 12.