Линейные уравнения и текстовые задачи

Режим

Параметры

Уравнения урока

Действие с обеими частями

Вес мешочка x (проверка)3

Красный шарик тянет чашу вверх: это −1. Весы в равновесии — значит, при этом x левая часть равна правой.

Исследования

0/6

Урок 5 · уравнения и системы

Урок 6 · неравенства

Урок 33 · текстовые задачи

Нажмите на исследование — сцена подготовится, а здесь появится задание. Исследование засчитывается по вашим действиям и записям: кнопка «Записать».

Справка

Уравнение-весы

Равновесие

Действуйте одинаково с обеими чашами

Как считается

Что происходит

Записи

№	Задача	Результат
Пока нет записей. Нажмите «Записать».

Журнал

Линейное уравнение

Урок 5двигайте коэффициенты

ax + b = 0, a ≠ 0 ⇒ x = −ba

Линейное уравнение — уравнение, в котором переменная стоит в первой степени: нет x², нет x в знаменателе. Это самые первые уравнения, которые решают в школе.

Порядок решения всегда один и тот же:

упростить: раскрыть скобки, привести подобные на каждой стороне;
перенести все x влево, все числа вправо. При переносе через знак «=» слагаемое меняет знак;
разделить обе части на коэффициент при x.

Пример урока2(x − 3) = x + 1 → 2x − 6 = x + 1 → 2x − x = 1 + 6 → x = 7.

Минус перед скобкой3(2 − x) − 2(2x + 1) = 3 → 6 − 3x − 4x − 2 = 3 → 4 − 7x = 3 → −7x = −1 → x = 17. Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого в ней: −2 · (+1) = −2.

Проверка: подставьте корень в исходное уравнение — левая часть должна совпасть с правой. При x = 7: 2 · (7 − 3) = 8 и 7 + 1 = 8.

Коэффициент a2

Свободный член b−6

Ловушка ЕНТ

Иногда переносят слагаемое без смены знака: из 2x − 6 = x + 1 получают 2x − x = 1 − 6 и x = −5 — это неверно. Число −6 переходит вправо как +6: x = 7.

Уравнения с дробями

Урок 5шаг за шагом

Если в уравнении есть дроби, удобнее сразу от них избавиться. Находим наименьший общий знаменатель всех дробей и умножаем на него каждую дробь — и правую часть тоже.

Общий знаменатель делится на знаменатель каждой дроби. Частное — это дополнительный множитель: знаменатель сокращается, а числитель (в скобках!) умножается на этот множитель.

x − 35 + x + 24 = 12 | · 20

Дополнительные множители: 20 : 5 = 4, 20 : 4 = 5, 20 : 2 = 10. Получаем 4(x − 3) + 5(x + 2) = 10, то есть 9x − 2 = 10, 9x = 12, x = 43 = 113.

Игра «Найди ошибку»В решении одна неверная строка. Нажмите на неё.

Ловушка ЕНТ

Числитель после умножения берут в скобки. В 2x − 13 − x + 12 = 1 вычитается вся дробь: 2(2x − 1) − 3(x + 1) = 6, то есть 4x − 2 − 3x − 3 = 6, x = 11. Без скобок выйдет «− 3x + 3» и неверный ответ.

Особые случаи: «истина» и «ложь»

Урок 5выберите уравнение

0 · x = 0 → x — любое число0 · x = c, c ≠ 0 → корней нет

Бывает, что после упрощения переменная исчезает из уравнения. Тогда смотрим, что осталось:

верное равенство (истина), например 0 = 0 — уравнение верно при любом значении переменной. Ответ: a ∈ R, или a ∈ (−∞; +∞), или «любое число» — все три записи верны;
неверное равенство (ложь), например 0 = 1 — ни одно значение не подходит. Ответ: ∅ или «нет корней».

Примеры урока1 + a = 2a − (a − 1) → 1 + a = a + 1 → 0 = 0: a — любое число.
(2a + 5) − 2(a + 1) = 4 → 2a + 5 − 2a − 2 = 4 → 3 = 4: нет корней.
3(3a + 2) − a = 2a → 8a + 6 = 2a → 6a = −6: a = −1.

Справа левая и правая части уравнения нарисованы как две прямые. Корень — там, где они пересекаются. Параллельные прямые не пересекаются (корней нет), совпавшие — «пересекаются» везде (любое число).

ИграСколько корней у уравнения? Разложите по группам.

Ловушка ЕНТ

Иногда, получив 0 · x = 0, делят на ноль или пишут «x = 0» — это неверно. 0 = 0 — истина при любом x, ответ — любое число. А 0 = 1 — ложь: корней нет.

Системы: подстановка и сложение

Урок 5выберите случай

x − 3y = 11,2x + 4y + 8 = 0→ (2; −3)

Решение системы — пара чисел (x; y), при которой верны оба уравнения. Первым в паре всегда пишут x. Каждое линейное уравнение с двумя переменными — прямая, решение системы — точка пересечения прямых.

Метод подстановки. Из одного уравнения выражаем переменную, которую легче выразить, и подставляем в другое: x = 11 + 3y, тогда 2(11 + 3y) + 4y + 8 = 0, 10y + 30 = 0, y = −3, x = 11 + 3 · (−3) = 2.

Метод сложения (вычитания). Решаем, от какой переменной избавляемся, и уравниваем коэффициенты при ней. Первое уравнение умножаем на 2 (каждый член!): 2x − 6y = 22. Второе пишем как 2x + 4y = −8. Вычитаем столбиком: −10y = 30, y = −3. Затем x подставляем в любое уравнение — удобнее в то, где проще считать.

Каким бы методом ни решали, ответ один и тот же. Можно не только складывать и вычитать уравнения, но и умножать и делить их друг на друга.

Прямые	Коэффициенты	Решений
пересекаются	a₁ : a₂ ≠ b₁ : b₂	одно — пара (x; y)
параллельны	a₁ : a₂ = b₁ : b₂ ≠ c₁ : c₂	нет (∅): после вычитания 0 = число
совпадают	a₁ : a₂ = b₁ : b₂ = c₁ : c₂	бесконечно много: 0 = 0

ИграРасставьте шаги метода сложения по порядку.

Ловушка ЕНТ

При вычитании уравнений минус действует на всё второе уравнение: (2x − 6y) − (2x + 4y) = −10y, а 22 − (−8) = 30. Частая ошибка — получить 14 вместо 30. И на ЕНТ часто спрашивают не пару, а, например, x + y или y/x: дочитайте вопрос.

Деление уравнений и формула суммы кубов

Урок 5шаг за шагом

x + xy³ = 9,xy + xy² = 61 + y³ = (1 + y)(1 − y + y²)

Когда обе части уравнений — произведения, удобно разделить одно уравнение на другое: левую часть на левую, правую на правую. Общие множители сократятся.

В примере урока сразу встречается несколько тем: вынесение множителя, формула суммы кубов a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), пропорция и квадратное уравнение. На ЕНТ так бывает часто: одно задание — несколько тем.

Ответ: две пары (1; 2) и (8; 12). На графике справа это две точки, где пересекаются кривые x = 91 + y³ и x = 6y + y².

Оранжевая кривая — первое уравнение, синяя — второе. Точки пересечения — решения системы.

Ловушка ЕНТ

Найдя y = 2 и y = 12, многие останавливаются. Нужны пары: для каждого y находим свой x. В паре сначала пишут x: (1; 2), а не (2; 1).

Неравенства: смена знака и промежутки

Урок 6двигайте множитель

−x > 7 | · (−1) ⇒ x < −7

Линейное неравенство — неравенство, где переменная в первой степени. Знаки: >, < — строгие; ≥, ≤ — нестрогие. Решают как уравнение: раскрывают скобки, переносят x влево, числа вправо (со сменой знака слагаемого).

Главное правило: если обе части умножают или делят на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный. Справа видно почему: умножение на отрицательное число «переворачивает» прямую, и меньшее число становится большим.

Неравенство	Точка	Промежуток
x > 7	выколотая ○	(7; +∞)
x < 7	выколотая ○	(−∞; 7)
x ≥ 7	закрашенная ●	[7; +∞)
x ≤ 7	закрашенная ●	(−∞; 7]

Строгое неравенство — точка выколотая, скобка круглая: само число не входит. Нестрогое — точка закрашенная, скобка квадратная. У бесконечности скобка всегда круглая. Промежуток записывают слева направо.

Множитель k2

ИграОтветьте сами, потом переверните карточку.

Ловушка ЕНТ

В ответах ЕНТ варианты часто отличаются только скобкой: (7; +∞) и [7; +∞). Знак меняется только при умножении или делении на отрицательное число — не при переносе слагаемых.

Двойные неравенства и системы неравенств

Урок 6выберите пример

−4 ≤ x − 5 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 6x < 11,x < 7⇒ x ∈ (−∞; 7)

Двойное неравенство «зажимает» x между двумя числами: 0 < x < 3 — это x ∈ (0; 3). Цель — оставить в середине просто x. Действие выполняем во всех трёх частях: сначала избавляемся от слагаемого, потом от коэффициента.

−8 < 3x + 4 < 1 → −12 < 3x < −3 → −4 < x < −1.

Система неравенств (фигурная скобка) — нужно, чтобы выполнялись все неравенства. Решаем каждое, рисуем решения на прямых точка под точкой (масштаб не обязателен, важен порядок чисел) и берём двойную штриховку — пересечение. Нет общей части — нет решения (∅).

Игра «Найди ошибку»В решении одна неверная строка. Нажмите на неё.

Ловушка ЕНТ

Ответ системы — пересечение, а не объединение. В системе x < −4 и x > 3 общей части нет: ответ «нет решения», а не «(−∞; −4) ∪ (3; +∞)».

Неравенства с модулем

Урок 6двигайте центр и расстояние

|f| < a ⇔f < a,f > −a |f| > a ⇔f > a,f < −a

Модуль раскрывают двумя случаями: один раз пишут выражение без модуля, второй раз — с числом со знаком минус и противоположным знаком неравенства.

Модуль меньше числа → система (фигурная скобка) → пересечение. |3x − 1| < 7: 3x − 1 < 7 и 3x − 1 > −7, то есть x < 83 и x > −2: x ∈ (−2; 83).
Модуль больше числа → совокупность (квадратная скобка) → объединение. |x − 5| > 15: x − 5 > 15 или x − 5 < −15, то есть x > 20 или x < −10: x ∈ (−∞; −10) ∪ (20; +∞).

Смысл модуля — расстояние: |x − a| — расстояние от x до точки a на прямой. |x − 5| > 15 — точки, которые дальше 15 от числа 5; |x − 5| < 15 — ближе 15.

Центр a5

Расстояние r4

ИграВо что превращается неравенство с модулем? Разложите по группам.

Ловушка ЕНТ

Во втором случае меняют знак у числа и знак неравенства: |3x − 1| < 7 даёт 3x − 1 > −7, а не 3x − 1 < −7. Помните схему: «меньше» — пересечение, «больше» — объединение.

Как решать текстовую задачу

Урок 33таблица → уравнение

S = v · t, t = SvA = P · t, t = AP

Каждая текстовая задача индивидуальна, но у большинства один «скелет»: меняются числа и названия. Главное — перевести текст в математическую модель (уравнение или систему). Удобнее всего — через таблицу.

выбрать неизвестное x (обычно — то, о чём спрашивают);
заполнить таблицу: две колонки известны — третью получаем по формуле;
найти в тексте связь: разница времён, сумма времён, «на столько-то больше» — и записать уравнение;
решить уравнение алгеброй;
отобрать корни по смыслу: скорость, время, масса не бывают отрицательными;
ответить именно на вопрос задачи и сделать проверку.

В задачах на работу вместо пути — объём работы A, вместо скорости — производительность P (работа за единицу времени). Если объём не задан числом (бассейн, задание), его принимают за 1.

	S, км	v, км/ч	t = S : v, ч
по плану	36	x	36x
по факту	36	x + 4	36x + 4

Связь: по плану времени ушло больше на 6 мин = 110 ч, поэтому 36x − 36x + 4 = 110. Наведите на клетки таблицы.

ИграРасставьте этапы решения текстовой задачи по порядку.

Ловушка ЕНТ

Единицы должны совпадать: если скорость в км/ч, время переводят в часы. 6 мин = 660 = 0,1 ч; 20 мин = 13 ч, поэтому 8 ч 20 мин = 813 = 253 ч, а не 8,2 ч.

Задачи на движение: план и факт, река

Урок 33двигайте течение

v_{по теч.} = x + u,v_{против теч.} = x − uv_сбл. = v₁ + v₂ (навстречу), v₁ − v₂ (вдогонку)

Скорость течения u, км/ч4

Поезд (урок)Поезд задержали на 6 мин; на перегоне 36 км он ликвидировал опоздание, увеличив скорость на 4 км/ч. По таблице: 36x − 36x + 4 = 110 → x² + 4x − 1440 = 0. По Виета корни 36 и −40; скорость не бывает отрицательной: x = 36 км/ч. Проверка: 1 ч − 0,9 ч = 0,1 ч = 6 мин.

Лодка (урок)80 км туда и обратно за 8 ч 20 мин, течение 4 км/ч. 80x + 4 + 80x − 4 = 253 → 5x² − 96x − 80 = 0, D = 9216 + 1600 = 10 816 = 104². x = 96 + 10410 = 20 км/ч; второй корень −0,8 отбрасываем.

«Скорость в стоячей воде» — это собственная скорость x, без течения. Плот сам не плывёт: его скорость равна скорости течения u.

Ловушка ЕНТ

Собственная скорость катера — среднее скоростей по и против течения: (x + u) + (x − u) = 2x. Если по течению 17,5 км/ч, а против 12,5 км/ч, то x = (17,5 + 12,5) : 2 = 15 км/ч, а скорость течения — (17,5 − 12,5) : 2 = 2,5 км/ч.

Совместная работа и производительность

Урок 33двигайте время труб

1t₁ + 1t₂ = 1T

Производительность — работа за час: P = A : t. Если весь бассейн принять за 1, то труба, наполняющая его за 10 ч, за час делает 110 бассейна. Работая вместе, трубы складывают производительности.

Бассейн (урок)Две трубы наполняют бассейн за 6 ч, первая одна — на 5 ч быстрее второй. Вторая — x ч, первая — x − 5 ч: 1x − 5 + 1x = 16 → x² − 17x + 30 = 0, x = 2 или x = 15. При x = 2 время первой трубы 2 − 5 < 0 — не подходит. Ответ: 15 ч и 10 ч.

Бригада (урок)360 деталей; делая на 4 детали в день больше, закончили на 1 день раньше. 360x − 360x + 4 = 1 → x² + 4x − 1440 = 0, x = 36. По факту — 40 деталей в день, 9 дней (по плану было 10).

Первая труба одна, ч10

Вторая труба одна, ч15

Ловушка ЕНТ

Иногда складывают времена: 10 + 15 = 25 ч или берут среднее 12,5 ч — это неверно. Складываются производительности: 110 + 115 = 530 = 16, вместе — 6 ч. Вместе всегда быстрее, чем самая быстрая труба.

Концентрация, смеси и сплавы

Урок 33выберите смесь

m_в-ва = m · p100c = m₁p₁ + m₂p₂m₁ + m₂

Сначала находим массу вещества в каждом растворе (по пропорции: весь раствор — 100 %). При смешивании складываются и массы вещества, и массы растворов. Новая концентрация — доля вещества в общей массе.

Сироп (урок)200 г 10 % + 300 г 20 %: сахара 20 г + 60 г = 80 г в 500 г. c = 80 · 100500 = 16 %.

Морская вода (урок)15 л с 5 % соли: соли 15 · 5100 = 34 л. Доливаем y л пресной воды — соли столько же, а это должно быть 1,5 %: 15 + y = 34 · 100 : 1,5 = 50, y = 35 л.

Смесь — как рычаг: концентрация смеси лежит между p₁ и p₂, ближе к тому раствору, которого больше. Вода — это раствор с концентрацией 0 %.

Ловушка ЕНТ

Иногда берут среднее процентов: (10 + 20) : 2 = 15 % — это неверно, если массы разные. Складывают массы вещества: 20 + 60 = 80 г из 500 г — 16 %.

Задачи на цифры числа и «найдите два числа»

Урок 33меняйте цифры

«xy» = 10x + y,«xyz» = 100x + 10y + z

Цифр всего 10 (от 0 до 9), а чисел — бесконечно много. Запись «xy» — это не произведение, а двузначное число: x десятков и y единиц, то есть 10x + y. Проверка: 23 = 2 · 10 + 3. Если цифры переставить, получится 10y + x.

Число 57 (урок)Сумма цифр 12; если цифры переставить, число станет больше на 18.

x + y = 12,(10y + x) − (10x + y) = 18

Второе: 9y − 9x = 18, y − x = 2. Складываем: 2y = 14, y = 7, x = 5. Число 57: 75 − 57 = 18 ✓.

Два числа (урок)Сумма удвоенного первого и утроенного второго равна 23, учетверённое второе больше утроенного первого на 8:

2x + 3y = 23,4y − 3x = 8

Умножаем первое на 3, второе на 2 и складываем: 17y = 85, y = 5, x = 4. Числа 4 и 5.

Цифра десятков x5

Цифра единиц y7

Ловушка ЕНТ

Иногда «xy» записывают как x · y или как x + y — это неверно: 10x + y. Разность числа и «перевёрнутого» всегда делится на 9: (10y + x) − (10x + y) = 9(y − x).

Игра: какое уравнение подходит к условию

Урок 33выберите модель

Самое трудное в текстовой задаче — составить уравнение. Решать его пока не нужно: выберите модель, которая точно соответствует условию.

Разбор задач

Уроки 5, 6, 33открывайте по шагам

Графики и числовые прямые построены точно по формулам; на схемах систем неравенств точки стоят по порядку, расстояния между ними не в масштабе.