Нажмите на исследование — сцена подготовится, а здесь появится задание. Исследование засчитывается по вашим записям: кнопка «Записать».
Справка
Умножение
am · an = am+n
Деление
am : an = am−n
Степень степени
(am)n = amn
Ноль и минус
a0 = 1, a−n = 1/an
Функция
y = ax, a > 0, a ≠ 1
Свойства степеней
—
Как считается
Что происходит
Записи
№
Пример
Результат
Пока нет записей. Нажмите «Записать».
Журнал
Главная мысльПоказатель степени считает, сколько раз основание стоит множителем. Отсюда все свойства: при умножении множители «склеиваются» — показатели складываем, при делении сокращаются — вычитаем, степень степени — умножаем. Показательная функция y = ax — та же степень, только переменная стоит в показателе: при a > 1 она растёт, при 0 < a < 1 убывает, и всегда ax > 0.
1
Степень: основание и показатель
Урок 7двигайте ползунки
an = a · a · … · a (n множителей)a1 = a
В записи 46 число 4 — основание, 6 — показатель. Показатель показывает, сколько раз основание умножают само на себя: 46 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4096.
Основание не умножают на показатель: 46 ≠ 4 · 6. Это самая частая ошибка — проверьте себя ползунками справа.
У любого числа есть первая степень: 51 = 5, просто единицу в показателе не пишут.
Знак. Отрицательное число в чётной степени положительно, в нечётной — отрицательно: (−2)4 = 16, (−2)3 = −8. Но без скобок степень относится только к числу: −24 = −(24) = −16.
Основание a4
Показатель n6
ИграКакой знак у значения? Разложите по группам.
!
Ловушка ЕНТ
Иногда пишут −24 = 16 — это неверно: без скобок в степень возводится только 2, а минус остаётся перед результатом: −24 = −16. А вот (−2)4 = 16.
2
Умножение, деление и степень степени
Урок 7выберите пример
am · an = am+nam : an = am−n (a ≠ 0)(am)n = am·n
Три главные формулы работают только при одинаковых основаниях:
Умножение — показатели складываем: 35 · 37 = 35+7 = 312. Пять троек и семь троек — всего двенадцать.
Степень степени — перемножаем: (32)6 = 312. Шесть раз по две тройки.
В длинном примере идём слева направо: 24 · 23 : 26 = 24+3−6 = 2. Скобки решают, что делим: 67 : (64 · 63) = 67−7 = 60 = 1.
Буквенный показатель — то же самое: xn+1 = xn · x, поэтому xn+1 · x3 : xn = xn+1+3−n = x4.
Игра «Найди ошибку»В решении одна неверная строка. Нажмите на неё.
!
Ловушка ЕНТ
Иногда при умножении показатели перемножают: 33 · 32 = 36 — это неверно. При умножении — сложение: 35 = 243. Перемножают показатели только в степени степени (am)n. А для суммы 23 + 22 формулы нет: это 8 + 4 = 12, а не 25.
3
Разные основания: степень произведения и дроби
Урок 7склейте пары
(a · b)n = an · bn(ab)n = anbn (b ≠ 0)
Если основания разные, а показатели одинаковые, формулу читают справа налево: общий показатель выносят, а основания перемножают или делят.
Пример
Приём
Ответ
54 · 24
(5 · 2)4 = 104
10 000
185 : 95
(18 : 9)5 = 25
32
246 : 86
(24 : 8)6
36 = 729
453 · (1/9)3
(45 : 9)3 = 53
125
Показатели разные — раскладываем основание: 65 : 34 = 35 · 25 : 34 = 3 · 32 = 96. Удобно: меньшую степень зачеркнуть целиком, у большей вычесть.
Выбирайте самый короткий путь: 185 : 95 можно решать и через 18 = 9 · 2, но вынести показатель быстрее.
ИграПосчитайте сами, потом переверните карточку.
!
Ловушка ЕНТ
Для суммы такой формулы нет: (a + b)2 ≠ a2 + b2. Проверка: (2 + 3)2 = 25, а 22 + 32 = 13. Каждому множителю показатель «достаётся» только при умножении и делении.
4
Нулевой и отрицательный показатель
Урок 7шагайте по лестнице
a0 = 1 (a ≠ 0)a−n = 1an1a−n = an
Показатель−2
Почему a0 = 1. Разделим степень на саму себя: 35 : 35 = 35−5 = 30. Но одинаковые числа при делении дают 1. Значит, 30 = 1 — для любого основания, кроме нуля.
Отрицательный показатель показывает, что степень стоит «не на своём месте»: её переносят в знаменатель, и показатель становится положительным: 2−3 = 123 = 18. И наоборот: 1a−5 = a5.
Дробь в степени −1 переворачивается:(23)−1 = 32, (13)−2 = 32 = 9.
На лестнице справа каждый шаг вправо — умножить на основание, влево — разделить. Поэтому после 21 = 2 идёт 20 = 1, затем 2−1 = 1/2.
ИграРасставьте числа по возрастанию.
!
Ловушка ЕНТ
Иногда считают 2−3 = −8 или 50 = 0 — это неверно. Минус в показателе не делает число отрицательным, он переворачивает его: 2−3 = 1/8. А любая ненулевая степень с показателем 0 равна 1.
5
Дробный показатель — это корень
Урок 7выберите пример
a1/n = aam/n = am
Десятичный показатель сначала переводим в обыкновенную дробь: 0,25 = 14, 0,2 = 15.
Потом основание записываем степенью и умножаем показатели: 160,25 = (24)1/4 = 24 · 1/4 = 21 = 2. Четвёрка и одна четвёртая сокращаются.
819 и 981: основание к 9: 819 = (92)9 = 918 < 981.
216 и 164: 164 = (24)4 = 216 — числа равны.
К общему основанию идём в сторону меньшего числа: 16 и 81 раскладываем на 2 и 9, а не наоборот. Если основания не сводятся, ищем общий показатель: 230 = (23)10 = 810, 320 = (32)10 = 910, значит 230 < 320.
Игра «Сравни степени»Поставьте знак <, = или >. Считать всё до конца не нужно — приводите.
!
Ловушка ЕНТ
Иногда решают: «81 больше 9, значит 819 > 981» — это неверно. Сравнивать по основанию можно только при одинаковых показателях: 819 = 918 < 981.
7
Показательная функция y = ax
Урок 30выберите основание
y = ax, a > 0, a ≠ 1D = (−∞; +∞), E = (0; +∞)
В показательной функции переменная стоит в показателе, а основание a — постоянное число. Условия: a > 0 и a ≠ 1 (при a = 1 получится прямая y = 1).
Свойство
a > 1
0 < a < 1
Монотонность
возрастает
убывает
Точка на оси Oy
(0; 1), потому что a0 = 1
Значения
только положительные: ax > 0
Асимптота
ось Ox (y = 0): график к ней приближается, но не касается
Графики y = 2x и y = (1/2)x симметричны относительно оси Oy: (1/2)x = 2−x.
Показательная функция — обратная логарифмической, поэтому приёмы решения уравнений и неравенств почти такие же, как у логарифмов.
ИграВозрастает или убывает? Разложите функции по группам.
!
Ловушка ЕНТ
Иногда думают, что y = 2−x возрастает, раз в основании 2 — это неверно: 2−x = (1/2)x, основание меньше 1, функция убывает. Смотрите на основание после того, как минус убран из показателя.
8
Уравнения: одинаковое основание
Урок 30по шагам
af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x)(ba)k = (ab)−k
Главный приём — сделать слева и справа одинаковое основание. Тогда основание «отпускаем» и решаем уравнение с показателями. Степени нужно помнить наизусть: 25 = 32, 34 = 81, 53 = 125.
23x+1 = 132 = 2−5 ⇒ 3x + 1 = −5, x = −2.
(37)3x−7 = (73)7x−3: переворачиваем дробь, минус уходит в показатель: (37)−7x+3. Тогда 3x − 7 = −7x + 3, 10x = 10, x = 1.
4x · 5x+1 = 5 · 202−x: делим на 5, одинаковый показатель выносим: (4 · 5)x = 20x = 202−x, x = 2 − x, x = 1.
Ответ легко проверить подстановкой — на ЕНТ это лишние 20 секунд, которые спасают балл.
Игра «Найди ошибку»В решении одна неверная строка. Нажмите на неё.
!
Ловушка ЕНТ
Переворачивая дробь, меняют знак всего показателя: (7/3)7x−3 = (3/7)−(7x−3) = (3/7)−7x+3. Если поменять знак только у 7x, получится неверное x = 0,4; если не менять совсем — x = −1.
9
Уравнения: общий множитель и замена
Урок 30по шагам
ax+k = ax · akt = ax > 0, a2x = t2
Общий множитель. Плюс в показателе превращается в умножение: 5x+1 = 5x · 5. Тогда 5x+1 − 5x = 100 — это «5a − a = 100» при a = 5x: 4 · 5x = 100, 5x = 25, x = 2.
Минус в показателе — деление: 4x−1 = 4x : 4. Пример урока: 4x−1 + 4x + 4x+1 = 84 ⇒ b4 + b + 4b = 84, 21b4 = 84, b = 16, x = 2.
Замена. Если есть a2x и ax, вводим t = ax и решаем квадратное уравнение. Корень t ≤ 0 отбрасываем: ax не бывает отрицательным. В конце — обратная замена.
Однородное уравнение9x + 6x = 22x+1: справа 0 после переноса, делим всё на 32x и получаем замену t = (2/3)x.
ИграРасставьте шаги решения уравнения 9x + 6x = 22x+1 по порядку.
!
Ловушка ЕНТ
После замены часто забывают вернуться к x и отвечают «t = 25». Ответ — x: 5x = 25 = 52, x = 2. А корень t = −1 даёт 5x = −1 — решений нет, его отбрасывают.
Неравенство решают как уравнение: приводят к одному основанию и «отпускают» его. Но знак зависит от основания:
a > 1 — функция растёт, знак сохраняется: 3x > 32 ⇒ x > 2;
0 < a < 1 — функция убывает, знак меняется: (1/3)x > (1/3)2 ⇒ x < 2.
Пример урока: (0,25)x−4 ≤ (1/16)x. Здесь 0,25 = 1/4, 1/16 = (1/4)2, основание меньше 1: x − 4 ≥ 2x, −x ≥ 4. Делим на −1 — знак меняется ещё раз: x ≤ −4. Ответ: (−∞; −4], точка −4 закрашена.
Если в показателе квадратный трёхчлен, дальше — метод интервалов: 3x²+2x > 27 ⇒ x2 + 2x − 3 > 0 ⇒ x ∈ (−∞; −3) ∪ (1; +∞).
Игра «Найди ошибку»В решении одна неверная строка. Нажмите на неё.
!
Ловушка ЕНТ
Знак меняется в двух местах: когда «отпускаем» основание меньше 1 и когда умножаем или делим неравенство на отрицательное число. Пропустите один переворот — получите противоположный ответ: x ≥ −4 вместо x ≤ −4.
11
Разбор задач
Уроки 7 и 30открывайте по шагам
Графики, лестницы и отрезки показателей построены точно по числам. Модель упрощена: в симуляции не больше 24 множителей.