Квадрат двучлена — это две одинаковые скобки: (a + b)² = (a + b)(a + b). Если перемножить «каждое на каждое», получится квадрат первого, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго. У квадрата разности минус стоит только перед удвоенным произведением.

На рисунке справа квадрат со стороной a + b сложен из квадратов a², b² и двух прямоугольников ab — отсюда и 2ab.

Как применять. Сначала запишите для себя саму формулу, потом подставьте вместо a и b то, что стоит в скобках:

• (2 + n)² = 2² + 2 · 2 · n + n² = 4 + 4n + n²;
• (y − 9)² = y² − 18y + 81;
• (5n + 2m)² = 25n² + 20mn + 4m² — в квадрат возводят и число, и букву.

Минус у обоих слагаемых. Квадрат «съедает» общий минус: (−z − 3)² = (−(z + 3))² = (z + 3)² = z² + 6z + 9. И вообще (a − b)² = (b − a)².

Обратно — свернуть трёхчлен. Ищем два квадрата и проверяем, что среднее слагаемое — их удвоенное произведение: q² + 10q + 25 = q² + 2 · 5 · q + 5² = (q + 5)², 1 − 2n + n² = (1 − n)², 25q² + 10q + 1 = (5q + 1)².

Как быстро запомнить. Первое число начинает с куба, и его степень уменьшается: 3, 2, 1, 0. Второе появляется со второго слагаемого и растёт: 0, 1, 2, 3. Посередине — две тройки: коэффициенты 1, 3, 3, 1.

Знаки у куба разности: минус стоит там, где у b нечётная степень — при b¹ и b³. Схема справа показывает это для любых a и b.

Раскрывая, пишите каждое слагаемое полностью — «утроенное произведение квадрата первого на второе»:

• (x + 2)³ = x³ + 3 · x² · 2 + 3 · x · 2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8;
• (2a + 1)³ = 8a³ + 12a² + 6a + 1 — сначала 2 в квадрат (4), потом на 3.

Большой пример — по действиям. (y + 3)³ − (y − 3)³: раскрываем каждую скобку отдельно, затем вычитаем, меняя знаки второй скобки: y³ + 9y² + 27y + 27 − y³ + 9y² − 27y + 27 = 18y² + 54.

Ещё пример: (n − 2k)³ + 6kn(n − 2k) = n³ − 6n²k + 12nk² − 8k³ + 6n²k − 12nk² = n³ − 8k³ — всё лишнее сократилось.

Знак    называется радикалом. Над ним не пишут двойку, но она подразумевается — поэтому корень квадратный; если сверху 3 — кубический (урок 10).

Извлечение корня — обратная операция к возведению в квадрат: 7² = 49, значит 49 = 7. Геометрически: у квадрата площадью 144 сторона 144 = 12.

• Под корнем — только неотрицательное число: −16 не существует.
• Сам арифметический корень тоже неотрицателен: 25 = 5, а не ±5.
• Уравнение x² = a (a > 0) имеет два корня: x = ±a.
• Поэтому a² = |a|: (−9)² = 81 = 9.

Десятичные дроби. Из-под корня «выходит» вдвое меньше цифр после запятой, поэтому их должно быть чётное число: 2,25 = 1,5, 0,0121 = 0,11. В 0,144 цифр три — пишем дробью: 1441000 = 121010 = 31025.

Иррациональное число — то, что не извлекается нацело: 3, 5, 7… «Избавиться от иррациональности в знаменателе» — получить внизу число без корня.

Числитель и знаменатель умножают на одно и то же — это умножение на 1, дробь не меняется.

• Один корень — домножаем на него: x7 = x77. Короче, если можно сократить: bb = b · bb = b.
• Сумма или разность — домножаем на сопряжённое (то же, но с противоположным знаком), и в знаменателе собирается разность квадратов: 2x − y = 2(x + y)x − y, 3x + y = 3(x − y)x − y.
• С числами доводим до конца: 47 − 3 = 4(7 + 3)7 − 3 = 7 + 3.

Справа знаменатель показан площадью: квадрат p без квадрата q перекладывается в прямоугольник (p − q) × (p + q), а его площадь — целое число p − q.

Кубический корень — число, куб которого равен подкоренному: 27 = 3, потому что 3³ = 27. Ребро куба объёмом 64 равно 64 = 4.

У нечётной степени подкоренное может быть отрицательным: −64 = −4, так как (−4)³ = −64. Свойства те же: 8 · 27 = 2 · 3 = 6.

ФСУ под корнем. Разность квадратов под корнем — не возводим, а раскладываем:

Ещё: 71² − 23² + 94 · 4262² − 32² = 48 · 94 + 94 · 4230 · 94 = 94 · 9030 · 94 = 3.

Упростить дробь с корнями — разложить так, чтобы вынести общий корень: 21 + 147 = 7(3 + 2)7 = 3 + 2; 9 − 2336 − 22 = 3(33 − 2)2(33 − 2) = 62.