Режим

Параметрлер

Тұрмыстағы қатар
Құралдар
Гипотеза: қатардың ережесі
Мүшенің реттік нөмірі n5

Алдымен айырымдар мен қатынастарды жазып шығыңыз, сосын гипотезаны таңдаңыз — ол көршілес сандардың барлық жұбында тексеріледі. Ереже расталған соң n нөмірі мен қосынды жұмыс істейді.

Тәжірибелер

0/7
1-сабақ · қатарлар
2-сабақ · фигуралар

Тәжірибені басыңыз — сахна дайындалады, ал мұнда тапсырма шығады. Тәжірибе сіздің әрекетіңіз бойынша есептеледі.

Анықтама

Қатардың ережесін табу

—
—

Қалай есептеледі

Не болып жатыр

Нәтижелер

№ЕсепНәтиже
Әзірге нәтиже жоқ. «Нәтижені сақтау» батырмасын басыңыз.

Журнал

    1

    Тізбек деген не

    1-сабақмысалды таңдаңыз
    Тізбек — белгілі бір тәртіппен орналасқан және белгілі бір ережеге бағынатын сандар жиынтығы. Есеп әрдайым дерлік біреу: ережені көріп, қатарды жалғастыру.

    Тізбек барлық жерде кездеседі. Апта күндері қатаң ретпен жүреді: дүйсенбіден кейін әрдайым сейсенбі, ал жексенбіден соң қайтадан дүйсенбі. Қоржынға күн сайын 100 теңгеден салсақ — 100, 200, 300 тг, төртінші күні 400 тг болады. Баланың бойы: 70, 80, 90 см — жыл сайын 10 см қосылады. Вирус: бір адам екі адамға жұқтырды, ол екеуі тағы төрт адамға — әр сатыда науқас саны екі есе артады.

    БелгіленуіБұл не5; 8; 11; 14 қатары
    nреттік нөмір — санның қатардағы орны11 санының нөмірі 3
    anтізбектің мүшесі — n-ші орында тұрған санның өзіa3 = 11
    a1бірінші мүшеa1 = 5
    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде нөмір мен мәнді шатастырады: «5; 8; 11 қатарының үшінші мүшесі 3-ке тең». Бұл қате: үшінші мүше — 11, ал 3 — оның нөмірі.

    2

    Тізбектердің түрлері

    1-сабақтүрін таңдаңыз
    ТүріЕрежесіМысал
    Рекурренттікмүше алдыңғылары арқылы өрнектеледі («рекуррент» — қайтып оралатын)Фибоначчи 0; 1; 1; 2; 3; 5; … факториалдар 1; 2; 6; 24; …
    Дәрежелікнегіз реттік нөмір дәрежесінде: an = an2; 4; 8; 16; 32; …
    Жалпы формуламен берілгеннөмірді қойсаң — мүше бірден шығадыan = n²: 1; 4; 9; 16; …
    Прогрессияларарифметикалық: d қосамыз; геометриялық: q санына көбейтеміз5; 8; 11; … · 3; 6; 12; …

    Формуламен берілген тізбектің өзі қарапайым, бірақ есептері ең күрделі болуы мүмкін: ҰБТ-да формуланы әдетте бермейді, оны алғашқы мүшелер бойынша табу керек. Ал прогрессиялардың есептері керісінше ең тез шығады — оларға дайын формулалар бар.

    ОйынҚатарларды түрлері бойынша топтарға бөліңіз.
    3

    Қатардың ережесін қалай тез табамыз

    1-сабаққатарды таңдаңыз
    1. Көршілес сандардың айырымдарын жазып шығыңыз. Бірдей болса — арифметикалық прогрессия.
    2. Қатынастарын тексеріңіз (келесісін алдыңғысына бөлеміз). Бірдей болса — геометриялық прогрессия.
    3. Мүшені алдыңғылары арқылы өрнектеп көріңіз: алдыңғы екеуінің қосындысы, реттік нөмірге көбейту. Шықса — рекурренттік тізбек.
    4. Белгілі қатарлармен салыстырыңыз: квадраттар, кубтар, екінің дәрежелері, факториалдар, Фибоначчи.

    Бұл рет уақытты үнемдейді: есептердің көбі алғашқы екі қадамда шешіледі. Айырымдар бірдей болмай, бірақ өздері ереже бойынша жүрсе (7, 8, 9, 10), — айырымдардың айырымын жазыңыз.

    Басты ережеЕреже қатардың біріншісінде ғана емес, барлық жұбында тексеріледі. Заңдылық екі санда шығып, үшіншісінде бұзылса — бұл дұрыс ереже емес.
    «Қатарды жалғастыр» ойыныЕрежені тауып, келесі санды таңдаңыз.
    !
    ҰБТ тұзағы

    1; 2; 6; 24 қатарында «2-ге көбейтеміз» ережесі бірінші жұпта шығып, екіншісінде бұзылды. Кейде 48 деп жауап береді — бұл қате: мүше өзінің реттік нөміріне көбейтіледі, келесі сан 24 · 5 = 120.

    4

    Арифметикалық прогрессия

    1-сабақжүгірткіні жылжытыңыз
    an = a1 + d · (n − 1)Sn = 2a1 + d · (n − 1)2 · n
    Бірінші мүше a₁5
    Айырым d3
    Нөмір n7

    Арифметикалық прогрессияда әр мүшеге бірдей d саны (айырым) қосылады. Айырымды кез келген екі көршілес мүшені азайтып табады: 5; 8; 11; 14; 17; 20 қатарында 8 − 5 = 3 және 17 − 14 = 3.

    Жетінші мүшені «тікелей» табуға болады: 20 + 3 = 23. Ал жүзінші мүшені осылай санау ұзаққа созылады — формула керек: a7 = 5 + 3 · 6 = 23, a20 = 5 + 3 · 19 = 62.

    Неге n − 1: біріншіден жетінші мүшеге дейін алты қадам жасалады — суретте секірістер нөмірден бір кем екені көрінеді.

    Сол қатардың алғашқы үш мүшесінің қосындысы: 5 + 8 + 11 = 24, формула бойынша S3 = (10 + 6) : 2 · 3 = 24. Тұрмыстағы түрлері: қоржын, ай сайын өсетін жинақ, зал қатарлары, баспалдақтар, бірдей уақытта жүрілген километр.

    «Қатені тап» ойыныШешудің бір жолы қате. Соны басыңыз.
    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде формулаға n − 1 орнына n қояды: «a7 = 5 + 3 · 7 = 26». Бұл қате — бір қадам артық. Ал «барлығы қанша» деген сұраққа соңғы мүшемен емес, қосындымен жауап береді.

    5

    Геометриялық прогрессия

    1-сабақеселікті таңдаңыз
    bn = b1 · qn − 1Sn = b1(1 − qn)1 − qS = b11 − q, |q| < 1

    Геометриялық прогрессияда әр мүше бірдей q санына (еселікке) көбейтіледі. Еселікті кез келген екі көршілес мүшенің қатынасы арқылы табады: 3; 6; 12; 24; 48; 96 қатарында 6 : 3 = 2 және 48 : 24 = 2. Жетінші мүше: 96 · 2 = 192 немесе формула бойынша 3 · 26 = 192.

    n мүшенің қосындысы |q| > 1 болғанда (q = 2, 3, −2…) ыңғайлы: S6 = 3 · (1 − 64) : (1 − 2) = 189.

    Егер |q| < 1 болса (q = 0,5; −0,5…), прогрессия шексіз кемімелі, ал бүкіл шексіз қатардың қосындысы бар: S = b1 : (1 − q). Доп әр секіргенде алдыңғы биіктігінің 2/5 бөлігіне көтеріледі, бірінші көтерілуі 60 см: барлық көтерілудің қосындысы 60 : (1 − 0,4) = 100 см.

    Тұрмыстағы түрлері: вирустың таралуы, бактерияның бөлінуі, жазбаның көрілімі, күрделі пайызбен өсетін салым, доптың секіруі.

    ОйынҚай формула керек? Ойланып алып, карточканы аударыңыз.
    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде еселікті n дәрежесіне шығарады: «b7 = 3 · 27 = 384». Бұл қате: дәреже көрсеткіші n − 1, жауабы 192. Сондай-ақ «бесінші күні» (мүше) мен «бес күнде барлығы» (қосынды) әртүрлі сұрақ.

    6

    Рекурренттік тізбектер: Фибоначчи және факториал

    1-сабақағашты өсіріңіз
    an = an − 1 + an − 2n! = n · (n − 1)!

    Фибоначчи тізбегін орта ғасырдағы Еуропаның алғашқы ірі математигі Леонардо Пизанский ойлап тапқан; халық арасында ол Фибоначчи деген лақап атымен белгілі болған. Әр келесі сан алдыңғы екі санның қосындысына тең: 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; … Қатар 0 мен 1-ден басталады — алғашқы екі санның көмегімен ғана келесісін санауға болады. 3-тен кейін 4 емес, 5 тұрады: 2 + 3 = 5.

    Бұл қатар табиғатта кездеседі — Фибоначчи ағашында: діңгек сатылар бойынша 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … бұтаққа тарайды.

    Санның факториалы n! — 1-ден бастап сол санға дейінгі барлық натурал сандардың көбейтіндісі; леп белгісі факториалды білдіреді. Ережесі: n! = n · (n − 1)!. 1! = 1, 2! = 1 · 2 = 2, 3! = 2 · 3 = 6, 4! = 6 · 4 = 24. 1; 2; 6; 24; 120; 720 қатары — факториалдар: әр мүше алдыңғысын өзінің реттік нөміріне көбейткенге тең. Бес адамды кезекке 5! = 120 тәсілмен тұрғызуға болады.

    «Қатарды таны» ойыныБұл қандай қатар және келесі сан қандай? Карточканы аударыңыз.
    7

    Фигуралардағы сандар: байланыстың үш түрі

    2-сабақтүрін таңдаңыз
    Фигуралардағы сандық тізбек — үшбұрыштардың, шаршылардың, дөңгелектердің немесе кесте ұяшықтарының бөліктерінде белгілі бір ереже бойынша орналасқан сандар. Әдетте барлық сандары белгілі 2–3 фигура және «?» белгісі бар бір фигура беріледі.

    Математика қатардағыдай — тек сандардың орналасуы өзгереді:

    1. Қатарынан оқу: сандар барлық фигура арқылы бір жол сияқты оқылады (1, 3, 5, 7 · 9, 11, 13, 15 · 17, 19, 21, ?).
    2. Орын бойынша: әртүрлі фигуралардың бірдей орындарын салыстырады (сол жақ үстін сол жақ үстімен).
    3. Шеттері ортасын береді: төмендегі екі сан белгілі бір амал арқылы жоғарғы санды береді (8 және 4 → 48).

    Шаршыда 4, 5, 6, 7 тұрса — бұл 4-тен басталатын натурал сандар, келесі шаршы 8-ден басталады. Ежелгі мысырлықтар пирамидаларын салғанда да сандық тізбекті пайдаланған: ең үстіңгі қатарда бір кірпіш, одан төмен екі, сосын үш — қатар сайын кірпіш саны бірге артады.

    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде сандар орын бойынша байланысқанда, ережені бір дөңгелектің ішінен іздейді: 1, 4, 16, 9 өздігінен қатар құрамайды. Бірдей орындарды салыстырыңыз: 4, 8, 16 — екінің дәрежелері, 9, 27, ? — үштің дәрежелері, демек ? = 34 = 81.

    8

    Алгоритм: фигуралардағы заңдылықты қалай табамыз

    2-сабақамалдарды сынаңыз
    1. Барлық элементті қараңыз: неше сан бар, олар қайда тұр (жоғарыда, төменде, ортасында), қайталанатын құрылым бар ма.
    2. Фигураларды салыстырыңыз: ережені барлық сандары белгілі 2–3 фигура бойынша іздейді.
    3. Қарапайым амалдар: қосу, азайту, көбейту, бөлу.
    4. Күрделі амалдар: қосындыға немесе көбейтіндіге тұрақты сан қосу, квадраттар, кубтар, тіркестер.
    5. Тізбек: кейде жоғарғы сан прогрессияның бөлігі болады.
    6. Гипотезаны барлық фигурада тексеріңіз: екеуінде шықса — үшіншісіне қолданыңыз.

    Сабақтағы мысал: төменде 8 және 4, жоғарыда 48. 8 + 4 = 12, 8 − 4 = 4, 8 · 4 = 32, 8 : 4 = 2 — сәйкес емес. Тұрақты санмен: 8 + 4 + 36 = 48, бірақ екіншісінде 5 + 2 + 36 = 43 ≠ 21; 8 · 4 + 16 = 48, бірақ 5 · 2 + 16 = 26 ≠ 21. Квадраттар: 64 − 16 = 48, екіншісінде 25 − 4 = 21 — сәйкес келді. Үшіншісі: 10² − 7² = 100 − 49 = 51.

    ОйынАлгоритмнің қадамдарын ретімен орналастырыңыз.
    «Сұрақ белгісінің орнында қандай сан?» ойыныБелгілі фигуралар бойынша ережені табыңыз.
    !
    ҰБТ тұзағы

    Бір фигурада ғана тексерілген ереже әрдайым дерлік жалған. 8 және 4 үшін 8 · 4 + 16 = 48 «сәйкес келеді», бірақ екінші фигурада (5 және 2) ол енді жұмыс істемейді: 5 · 2 + 16 = 26, ал жоғарыда 21 тұр.

    9

    Паскаль үшбұрышы

    2-сабақтекшені меңзеңіз

    Бұл үшбұрышты 11 жасында алғашқы теоремаларын ашқан француз математигі, физигі және философы Блез Паскаль зерттеген. Ол лего құрастырғышынан салынған мұнара сияқты құрылады: үстіне бір текше, оның астына екі, сосын үш, төрт, бес — әр қатарда текше бірге көп.

    • шеттерінде әрдайым 1 тұрады;
    • ішіндегі сан — дәл үстінде тұрған екі санның қосындысы: 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6.

    Жолдары: 1 · 1, 1 · 1, 2, 1 · 1, 3, 3, 1 · 1, 4, 6, 4, 1 · 1, 5, 10, 10, 5, 1. Ішінде қатарлар жасырылған: екінші диагональ бойынша — натурал сандар 1, 2, 3, 4, 5; үшінші бойынша — үшбұрышты сандар 1, 3, 6, 10; төртінші бойынша — тетраэдрлік сандар 1, 4, 10, 20. Әр жолдың қосындысы екі есе артады: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

    Текшені меңзеңіз немесе басыңыз.
    «Қатені тап» ойыныОқушы үшбұрышты құрастырып, бір жолда қателесті. Соны басыңыз.
    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде сол жолдағы көршілес сандарды қосады немесе көбейтінді алады. Бұл қате: сан бір жол жоғарыдағы екі санның — сол жақ үстіндегі мен оң жақ үстіндегінің қосындысына тең. 5 пен 10-ның астында 5 + 10 = 15 тұрады.

    10

    Фигуралық сандар

    2-сабақn-ді жылжытыңыз
    Tn = n(n + 1)2Qn = n²Ten = n(n + 1)(n + 2)6
    Нөмір n4

    Үшбұрышты сандар — нүктелерден үшбұрыш құрастыруға болатын сандар: 1, 3, 6, 10, 15, 21, … Әр келесі үшбұрышқа алдыңғысынан бір нүктеге ұзын тағы бір қатар қосылады. T2 = 3: бірінші қатарда бір нүкте, екіншісінде екі нүкте.

    Квадрат сандар — нүктелерден шаршы құрастыруға болатын сандар: 1, 4, 9, 16, 25, … Олар Паскаль үшбұрышында жоқ, бірақ оларды білу керек.

    Тетраэдрлік сандар — үшбұрышты қабаттардан тұратын пирамида, бұл енді 3D: 1, 4, 10, 20, 35, … Супермаркетте пирамида етіп үйілген апельсиндер сияқты: ең үстінде 1, астында 3, одан төменде 6 — барлығы 10.

    Бұл қатарларды бірден тани білу керек: ҰБТ-да олар сандар қатарында да, фигураларда да, «үйіндіде барлығы неше зат» деген есептерде де жасырынып тұрады.

    ОйынСандарды түрлері бойынша топтарға бөліңіз.
    !
    ҰБТ тұзағы

    Кейде формулаларды шатастырады: бесінші үшбұрышты санды 5² = 25 деп есептейді. Бұл қате: T5 = 5 · 6 : 2 = 15. Ал 5 қабатты пирамида 15 емес, Te5 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35.

    11

    Есептерді талдау

    1 және 2-сабақтарқадамдап шешу

    Алдымен өзіңіз шешіп көріңіз, сосын қадамдарды ашыңыз.