Числовые последовательности и числа в фигурах

Режим

Параметры

Ряд из жизни

Инструменты

Гипотеза: правило ряда

Номер члена n5

Сколько всего: сумма первых n членов

Сначала выпишите разности и отношения, потом выберите гипотезу — она проверяется на всех парах соседних чисел. Номер n и сумма работают, когда правило подтверждено.

Исследования

0/7

Урок 1 · ряды

Урок 2 · фигуры

Нажмите на исследование — сцена подготовится, а здесь появится задание. Исследование засчитывается по вашим действиям.

Справка

Детектор правила ряда

—

Как считается

Что происходит

Записи

№	Задача	Результат
Пока нет записей. Нажмите «Записать».

Журнал

Что такое последовательность

Урок 1выберите пример

Последовательность — набор чисел, которые идут друг за другом по определённой закономерности. Задача почти всегда одна: увидеть правило и продолжить ряд.

Последовательности есть везде. Дни недели идут строго по порядку и повторяются. Копилка: каждый день +100 тг — на четвёртый день там 400 тг. Рост ребёнка: 70, 80, 90 см — каждый год +10 см. Вирус: один человек заразил двоих, каждый из них — ещё двоих: на каждой ступени заражённых вдвое больше.

Обозначение	Что это	Ряд 5; 8; 11; 14
n	порядковый номер — место числа в ряду	у числа 11 номер 3
a_n	член ряда — само число на месте n	a₃ = 11
a₁	первый член	a₁ = 5

Ловушка ЕНТ

Иногда путают номер и значение: «третий член ряда 5; 8; 11 равен 3». Это неверно: третий член — 11, а 3 — его номер.

Виды последовательностей

Урок 1выберите вид

Вид	Правило	Пример
Рекуррентная	член выражается через предыдущие (от слова «возвращающийся»)	Фибоначчи 0; 1; 1; 2; 3; 5; … факториалы 1; 2; 6; 24; …
Степенная	основание в степени номера: a_n = aⁿ	2; 4; 8; 16; 32; …
Заданная общей формулой	подставляешь номер — сразу получаешь член	a_n = n²: 1; 4; 9; 16; …
Прогрессии	арифметическая: прибавляем d; геометрическая: умножаем на q	5; 8; 11; … · 3; 6; 12; …

Формулой заданная последовательность — самая простая, но задачи по ней бывают самыми сложными: на ЕНТ формулу обычно не дают, её надо найти по первым членам. Прогрессии, наоборот, решаются быстрее всего — для них есть готовые формулы.

ИграРазложите ряды по видам.

Как быстро найти правило ряда

Урок 1выберите ряд

Выпишите разности соседних чисел. Одинаковые — арифметическая последовательность.
Проверьте отношения (следующее делим на предыдущее). Одинаковые — геометрическая.
Попробуйте выразить член через предыдущие: сумма двух предыдущих, умножение на номер. Получилось — рекуррентная.
Сравните с известными рядами: квадраты, степени двойки, факториалы, Фибоначчи.

Такой порядок экономит время: большинство задач закрывается на первых двух шагах. Если разности не одинаковы, но сами идут по правилу (7, 8, 9, 10), — выпишите разности разностей.

Главное правилоПравило проверяют на всех парах ряда, а не на первой. Если закономерность сработала на двух числах и сломалась на третьем — это не то правило.

Игра «Продолжи ряд»Найдите правило и выберите следующее число.

Ловушка ЕНТ

В ряду 1; 2; 6; 24 правило «умножаем на 2» сработало на первой паре и сломалось на второй. Иногда отвечают 48 — это неверно: член умножается на свой номер, следующее число 24 · 5 = 120.

Арифметическая прогрессия

Урок 1двигайте ползунки

a_n = a₁ + d · (n − 1)S_n = 2a₁ + d · (n − 1)2 · n

Первый член a₁5

Разность d3

Номер n7

Арифметическая — к каждому члену прибавляется одно и то же число d (разность). Разность находят вычитанием любых двух соседних: в ряду 5; 8; 11; 14; 17; 20: 8 − 5 = 3 и 17 − 14 = 3.

Седьмой член можно найти «в лоб»: 20 + 3 = 23. Но двадцатый так считать долго — нужна формула: a₇ = 5 + 3 · 6 = 23, a₂₀ = 5 + 3 · 19 = 62.

Почему n − 1: от первого члена до седьмого делают шесть шагов — на рисунке видно, что прыжков на один меньше, чем номер.

Сумма первых трёх членов того же ряда: 5 + 8 + 11 = 24, по формуле S₃ = (10 + 6) : 2 · 3 = 24. Житейские версии: копилка, зарплата с надбавкой, ряды кресел, ступеньки, километры за одинаковое время.

Игра «Найди ошибку»В решении одна неверная строка. Нажмите на неё.

Ловушка ЕНТ

Иногда в формулу подставляют n вместо n − 1: «a₇ = 5 + 3 · 7 = 26». Это неверно — на один шаг больше, чем нужно. А на вопрос «сколько всего» отвечают суммой, а не последним членом.

Геометрическая прогрессия

Урок 1выберите знаменатель

b_n = b₁ · q^{n − 1}S_n = b₁(1 − qⁿ)1 − qS = b₁1 − q, |q| < 1

Геометрическая — каждый член умножается на одно и то же число q (знаменатель). Знаменатель находят делением соседних: в ряду 3; 6; 12; 24; 48; 96: 6 : 3 = 2 и 48 : 24 = 2. Седьмой член: 96 · 2 = 192 или по формуле 3 · 2⁶ = 192.

Сумма n членов удобна, когда |q| > 1 (q = 2, 3, −2…): S₆ = 3 · (1 − 64) : (1 − 2) = 189.

Если |q| < 1 (q = 0,5; −0,5…), ряд бесконечно убывающий, и у всего бесконечного ряда есть сумма: S = b₁ : (1 − q). Реклама привела 800 клиентов, каждый следующий месяц — вдвое меньше: всего 800 : 0,5 = 1600.

Житейские версии: вирус, репосты, деление клеток, вклад под процент, отскоки мяча.

ИграКакая формула нужна? Подумайте, потом переверните карточку.

Ловушка ЕНТ

Иногда возводят знаменатель в степень n: «b₇ = 3 · 2⁷ = 384». Это неверно: показатель n − 1, ответ 192. И не путают «на пятый день» (член) со «всего за пять дней» (сумма).

Рекуррентные ряды: Фибоначчи и факториал

Урок 1растите дерево

a_n = a_{n − 1} + a_{n − 2}n! = n · (n − 1)!

Ряд Фибоначчи придумал средневековый математик Леонардо Пизанский по прозвищу Фибоначчи. Каждое число равно сумме двух предыдущих: 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; … Ряд начинают с 0 и 1 — без двух первых чисел следующее не посчитать. После 3 идёт 5, а не 4: 2 + 3 = 5.

Ряд встречается в природе: ствол делится на ветки по уровням 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

Факториал n! — произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Правило перехода: n! = n · (n − 1)!. Знаешь 3! = 6 — получишь 4! = 6 · 4 = 24. Ряд 1; 2; 6; 24; 120; 720 — это факториалы: каждый член — предыдущий, умноженный на свой номер. Пять человек можно поставить в очередь 5! = 120 способами.

Игра «Узнай ряд в лицо»Что это за ряд и какое число следующее? Переверните карточку.

Числа в фигурах: три способа связи

Урок 2выберите способ

Последовательность чисел в фигурах — числа в частях треугольников, квадратов, кругов или клеток таблицы, расставленные по закономерности. Обычно даны 2–3 фигуры, где известны все числа, и одна со знаком «?».

Математика та же, что в ряду, — меняется только раскладка:

Сквозной ряд: числа читаются подряд по всем фигурам, как одна строчка (1, 3, 5, 7 · 9, 11, 13, 15 · 17, 19, 21, ?).
По позициям: сравнивают одинаковые места разных фигур (левый верх с левым верхом).
Края дают центр: два числа внизу как-то дают число наверху (8 и 4 → 48).

Числами в фигурах пользовались ещё египтяне: в пирамиде на каждом слое число кирпичей росло по правилу.

Ловушка ЕНТ

Иногда ищут правило внутри одного круга, когда числа связаны по позициям: 1, 4, 16, 9 сами по себе ряда не образуют. Сравните одинаковые места: 4, 8, 16 — степени двойки, 9, 27, ? — степени тройки, значит ? = 3⁴ = 81.

Алгоритм: как найти закономерность в фигурах

Урок 2переберите операции

Изучите элементы: сколько чисел, где они стоят (верх, низ, центр), есть ли повторяющаяся структура.
Сравните фигуры: правило ищут по 2–3 фигурам, где известны все числа.
Простые операции: сложение, разность, умножение, деление.
Сложные: квадраты, кубы, произведение с прибавлением, комбинации.
Последовательность: иногда верхнее число — часть прогрессии.
Проверьте гипотезу на всех фигурах: сошлось на двух — применяйте к третьей.

Пример урока: внизу 8 и 4, наверху 48. 8 + 4 = 12, 8 − 4 = 4, 8 · 4 = 32, 8 : 4 = 2 — мимо. Квадраты: 64 − 16 = 48. Проверка на второй: 25 − 4 = 21 — сошлось. Третья: 10² − 7² = 100 − 49 = 51.

ИграРасставьте шаги алгоритма по порядку.

Игра «Какое число вместо ?»Найдите правило по известным фигурам.

Ловушка ЕНТ

Правило, проверенное на одной фигуре, почти всегда ложное. Для 8 и 4 «подходит» 8 · 4 + 16 = 48, но на второй фигуре (5 и 2) это уже не работает: 5 · 2 + 16 = 26, а не 21.

Треугольник Паскаля

Урок 2наведите на кубик

Треугольник открыл французский математик Блез Паскаль, который свои первые теоремы доказал в 11 лет. Строится он как башня из конструктора: на каждом уровне на один кубик больше.

по краям всегда стоит 1;
внутреннее число — сумма двух чисел прямо над ним: 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6.

Строки: 1 · 1, 1 · 1, 2, 1 · 1, 3, 3, 1 · 1, 4, 6, 4, 1 · 1, 5, 10, 10, 5, 1. Внутри спрятаны ряды: по второй диагонали — натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5; по третьей — треугольные 1, 3, 6, 10; по четвёртой — тетраэдральные 1, 4, 10, 20. Сумма чисел строки каждый раз удваивается: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Наведите на кубик или нажмите на него.

Игра «Найди ошибку»Ученик строил треугольник и ошибся в одной строке. Нажмите на неё.

Ловушка ЕНТ

Иногда складывают соседние числа в той же строке или берут произведение. Это неверно: число равно сумме двух чисел строкой выше — слева сверху и справа сверху. Под 5 и 10 стоит 5 + 10 = 15.

Фигурные числа

Урок 2двигайте n

T_n = n(n + 1)2Q_n = n²Te_n = n(n + 1)(n + 2)6

Номер n4

Треугольные числа — из них можно выложить треугольник из точек: 1, 3, 6, 10, 15, 21, … Каждый следующий треугольник получает ещё один ряд, длиннее прежнего на одну точку.

Квадратные — квадрат из точек: 1, 4, 9, 16, 25, … В треугольнике Паскаля их нет, но знать надо.

Тетраэдральные — пирамидка из треугольных слоёв, уже в 3D: 1, 4, 10, 20, 35, … Как стопка апельсинов в супермаркете: сверху 1, под ним 3, потом 6 — всего 10.

Ряды надо узнавать в лицо: на ЕНТ они прячутся и в рядах чисел, и в фигурах, и в задачах «сколько всего предметов в стопке».

ИграРазложите числа по видам.

Ловушка ЕНТ

Иногда путают формулы: считают пятое треугольное число как 5² = 25. Это неверно: T₅ = 5 · 6 : 2 = 15. А пирамида из 5 слоёв — это не 15, а Te₅ = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35.

Разбор задач

Уроки 1 и 2решение по шагам

Сначала попробуйте решить сами, потом открывайте шаги.