Режим

Параметры

Готовые развёртки

Слева — сетка: нажимайте на клетки, чтобы собрать свою развёртку из 6 квадратов. Справа — объёмный вид: нажмите на грань, и она загнётся. Объёмный вид можно поворачивать, потянув мышью или пальцем.

Исследования

0/7
Урок 5 · развёртки и кубики
Урок 20 · фигуры

Нажмите на исследование — сцена подготовится, а здесь появится задание. Исследование засчитывается по вашим действиям.

Справка

Развёртка куба

—
—

Как считается

Что происходит

Записи

№ЗадачаРезультат
Пока нет записей. Нажмите «Записать».

Журнал

    1

    Фигура и её развёртка

    Урок 5выберите тело
    Фигура (объёмное тело) — то, что можно взять в руки: кубик, коробка, банка, рожок. Развёртка — плоский чертёж этой фигуры, из которого её можно сложить.

    Коробка из-под пиццы — живой пример: сначала это плоская картонка (развёртка), потом её складывают в коробку (фигуру). Если коробку аккуратно разрезать по рёбрам и разложить на столе, снова получится плоский рисунок из прямоугольников.

    ФигураИз чего развёртка
    Куб6 равных квадратов
    Прямоугольный параллелепипед6 прямоугольников (противоположные равны)
    Пирамида1 многоугольник-основание + столько треугольников, сколько сторон у основания
    Цилиндр2 круга + 1 прямоугольник
    Конус1 круг + сектор круга
    ИграКакая фигура получится? Подумайте, потом переверните карточку.
    !
    Ловушка ЕНТ

    Иногда говорят, что боковая поверхность конуса — треугольник. Это неверно: она разворачивается в сектор круга. А у пирамиды боковых треугольников ровно столько, сколько сторон у основания: у пятиугольной — пять, и всего граней шесть.

    2

    Противоположные грани: «через одну»

    Урок 5нажмите на грань

    Главное правило урока: противоположная грань лежит через одну клетку в одном направлении. Берём грань, пропускаем одну клетку по прямой — следующая и будет напротив.

    В развёртке урока столбец △ ○ ☆ ▽: от △ пропускаем ○ — напротив ☆. От ○ пропускаем ☆ — напротив ▽. Боковые ▭ и ♡ стоят по разные стороны столбца — они тоже пара.

    Две клетки, которые касаются стороной, — соседние грани: в кубе они встретятся на общем ребре и никогда не окажутся напротив.

    Пар всегда триУ куба 6 граней, каждая стоит напротив ровно одной — значит пар 6 : 2 = 3. Если известны две пары, третью составляют две оставшиеся грани.
    Игра «Какая грань напротив?»Выберите грань, которая окажется напротив отмеченной.
    !
    Ловушка ЕНТ

    Иногда за противоположную принимают соседнюю клетку. Это неверно: соседние клетки — смежные грани. Напротив стоит грань через одну. На игральном кубике сумма очков на противоположных гранях равна 7: напротив 2 — пять.

    3

    Сложится ли куб?

    Урок 5игра

    Из шести квадратов можно составить много фигур, но в куб складываются только 11 развёрток. Быстрая проверка:

    • в развёртке нет квадрата 2 × 2 — четыре клетки «окошком» в куб не складываются;
    • нет пяти клеток в ряд — ряд из пяти обязательно заходит на себя;
    • две клетки, которые «смотрят» на одну и ту же грань (например, обе по одну сторону столбца через одну клетку), налезут друг на друга.

    Если сомневаетесь — мысленно сложите: выберите основание и загибайте соседние грани по одной. Как это выглядит, видно на вкладке «Симуляция» (режим A) и на 3D-модели.

    Все 11 развёрток куба. Наведите на любую — она подсветится.

    Игра «Сложится ли куб?»Посмотрите на развёртку и решите: сложится или нет.
    !
    Ловушка ЕНТ

    Необычная «лесенка» кажется неправильной — но она складывается. А аккуратный прямоугольник 2 × 3 из шести клеток — не складывается: в нём есть квадраты 2 × 2.

    4

    Сколько кубиков: сплошная фигура и пустота

    Урок 5двигайте размеры
    N = длина · ширина · высотаN = Nполной − Nпустоты

    Сплошная фигура — просто перемножаем три размера. Пример урока: по длине 3, по ширине 2, по высоте 3: 3 · 2 · 3 = 18 кубиков.

    Фигура с пустотой — сначала считаем фигуру целиком, будто пустоты нет, потом отдельно пустоту, и вычитаем. Пример урока: полная фигура 3 · 2 · 4 = 24, пустота 3 · 1 · 1 = 3, кубиков 24 − 3 = 21.

    Ошибаются обычно в одном месте: пробуют пересчитать кубики «по одному», глядя на рисунок, — и сбиваются на тех, которых не видно.

    Длина3
    Ширина2
    Высота4
    Игра «Сколько кубиков?»Посчитайте и выберите ответ.
    !
    Ловушка ЕНТ

    Иногда размеры складывают: 3 + 2 + 3 = 8 — это неверно, кубиков 3 · 2 · 3 = 18. А пустоту вычитают из полной фигуры, а не прибавляют.

    5

    Видно не всё: счёт по слоям

    Урок 5шаг за шагом
    N = nслоя · (число слоёв) + неполные слои

    На рисунке задние кубики закрыты передними — пересчитывать «глазами» бесполезно. Делим фигуру на слои: считаем кубики в одном полном слое, умножаем на число таких слоёв, а неполные слои добавляем отдельно.

    Пример урока: в полном слое 3 · 2 = 6 кубиков, полных слоёв 3 — это 6 · 3 = 18. На третьем уровне неполный слой 3 · 1 = 3. Всего 18 + 3 = 21 — столько же, сколько и способом «вся фигура минус пустота».

    Ещё один приём урока — разбить фигуру на заднюю и переднюю части: сзади 3 · 3 = 9, спереди 3 · 2 = 6, всего 9 + 6 = 15.

    !
    Ловушка ЕНТ

    Иногда считают только кубики, которые видны на рисунке. Это неверно: невидимые кубики, которые держат верхние, тоже входят в фигуру. Если спрашивают число слоёв, а не кубиков, — делите: 20 кубиков по 5 в слое — это 4 слоя.

    6

    Сколько фигур на чертеже

    Урок 5выберите размер

    Плоские фигуры считают по размерам: сначала самые маленькие, потом побольше, потом всю фигуру целиком. И не забывают перевёрнутые.

    Пример урока — треугольник из 3 рядов: 6 маленьких вершиной вверх, 3 вершиной вниз, 3 средних (из 4 маленьких) и 1 большой: 6 + 3 + 3 + 1 = 13.

    ЧертёжКак складываетсяВсего
    треугольник, 2 ряда3 + 1 + 15
    треугольник, 3 ряда6 + 3 + 3 + 113
    треугольник, 4 ряда10 + 6 + 6 + 1 + 3 + 127
    квадрат 2 × 2 клетки4 + 15
    квадрат 3 × 3 клетки9 + 4 + 114
    квадрат 4 × 4 клетки16 + 9 + 4 + 130
    Игра «Сколько фигур на рисунке?»Сосчитайте по размерам и выберите ответ.
    !
    Ловушка ЕНТ

    Если считать «всё сразу глазами», обязательно что-нибудь потеряется — чаще всего перевёрнутые треугольники и самый большой. В чертеже из 4 рядов есть ещё и перевёрнутый треугольник из 4 маленьких — его легко пропустить.

    7

    Сколько деталей покроют стену

    Урок 5двигайте размеры
    N = Sстены : Sдетали→ округлить вверх
    Длина стены, м4
    Высота стены, м2

    Задача урока: стену 4 × 2 м выкладывают кирпичами 0,25 × 0,12 м. Площадь стены 4 · 2 = 8 м², площадь кирпича 0,25 · 0,12 = 0,03 м², кирпичей 8 : 0,03 ≈ 266,7.

    Округляем вверх: неполным кирпичом стену не закроешь — нужно 267 кирпичей. Считаем так, будто обрезки идут в дело; на ЕНТ это обычно оговаривают.

    Площади берут в одних единицах: если стена в метрах, а плитка в сантиметрах, сначала переведите (30 см = 0,3 м).

    Игра «Найди ошибку»В решении одна неверная строка. Нажмите на неё.
    !
    Ловушка ЕНТ

    Иногда делят периметр на длину детали или округляют вниз. Это неверно: делят площадь на площадь и округляют вверх. Окно или дверь в стене вычитают из площади.

    8

    Точка, прямая, отрезок, луч, угол

    Урок 20наведите на элемент

    Геометрия — раздел математики о формах и размерах. Планиметрия изучает плоские фигуры (2D), стереометрия — объёмные тела (3D).

    ЭлементПризнакВ жизни
    Точканет ни длины, ни шириныслед карандаша, дом на карте
    Прямаябесконечна, нет ни начала, ни концабесконечная дорога
    Отрезоккусок прямой: есть начало и конецлинейка, ножка стола
    Лучесть начало, конца нетлуч солнца
    Уголдва луча из одной точкиугол комнаты

    У угла два названия частей: вершина — точка, из которой выходят лучи, и стороны — сами лучи. Концы отрезка — две точки, которые его ограничивают; начало луча — точка, откуда он выходит.

    Наведите или нажмите на элемент. Стрелки на концах прямой и луча показывают: линия идёт бесконечно.

    ИграРазложите по числу концов.
    !
    Ловушка ЕНТ

    Путают луч и отрезок. Разница одна: у отрезка два конца, у луча только начало, у прямой нет ни того, ни другого. У отрезка, луча и прямой вместе 2 + 1 + 0 = 3 конца.

    9

    Четырёхугольники и треугольники

    Урок 20выберите фигуру
    ФигураСтороныУглы
    Квадратвсе четыре равнывсе прямые
    Прямоугольникпротивоположные равнывсе прямые
    Ромбвсе четыре равныне обязательно прямые
    Параллелограммпротивоположные параллельны и равныне обязательно прямые
    Трапецияпараллельны только две стороны — основаниялюбые

    Треугольники: равносторонний — все стороны равны; равнобедренный — две стороны равны; разносторонний — все разные; прямоугольный — один угол 90°. Круг — все точки на одинаковом расстоянии от центра; овал — «вытянутый» круг.

    Чтобы узнать фигуру, смотрят на два признака: какие стороны равны (и параллельны) и какие углы.

    ИграНазовите фигуру по признакам, потом переверните карточку.
    !
    Ловушка ЕНТ

    Иногда трапецией называют любой четырёхугольник с параллельными сторонами. Это неверно: у трапеции параллельна ровно одна пара сторон, а у параллелограмма — обе.

    10

    Вложенность фигур: какое утверждение ложно

    Урок 20наведите на множество

    Фигуры вложены друг в друга, как множества. Каждый квадрат — прямоугольник (все углы прямые, противоположные стороны равны) и каждый квадрат — ромб (все стороны равны). Каждый прямоугольник и каждый ромб — параллелограмм. Каждый параллелограмм и каждая трапеция — четырёхугольник.

    Но не наоборот: не каждый прямоугольник — квадрат, не каждый ромб — квадрат, не каждый четырёхугольник — трапеция.

    Задача урокаКакое утверждение ложно? «Все квадраты — прямоугольники», «все прямоугольники — параллелограммы», «все параллелограммы — четырёхугольники», «все четырёхугольники — трапеции». Ложно последнее: трапеция — частный случай четырёхугольника, а не наоборот.

    Приём: «все A — это B» верно, если A лежит внутри B на схеме.

    Наведите на любое множество.
    Игра «Верно ли утверждение?»Решите, верно оно или нет.
    !
    Ловушка ЕНТ

    «Все A — это B» и «все B — это A» — разные утверждения. Иногда их путают: «каждый квадрат — ромб» верно, а «каждый ромб — квадрат» — нет: у ромба углы могут быть не прямыми.

    11

    Диагонали многоугольника

    Урок 20шаг за шагом
    d = n(n − 3)2
    Число вершин n5

    Диагональ — отрезок, который соединяет две несоседние вершины. Стороны диагоналями не считаются.

    Задача урока: пятиугольник. Из первой вершины проводим 2 диагонали, из следующей — ещё 2, из третьей — одну новую (вторая уже проведена), из четвёртой и пятой — новых нет: 2 + 2 + 1 = 5.

    Формула: из каждой вершины выходит n − 3 диагонали (нельзя в саму себя и в двух соседей), вершин n, но каждую диагональ мы посчитали дважды — с обоих концов, поэтому делим на 2.

    n3456810
    диагоналей02592035
    ИграСколько диагоналей? Выберите ответ.
    !
    Ловушка ЕНТ

    Иногда забывают разделить на 2 и получают у восьмиугольника 40 диагоналей — это неверно, их 20. А если спрашивают все отрезки между вершинами (стороны и диагонали), то у пятиугольника их 5 + 5 = 10.

    12

    Объёмные тела и их тени

    Урок 20выберите тело и свет
    ТелоИз чего состоитВ жизни
    Куб6 одинаковых квадратовкубик-головоломка, блок в игре
    Параллелепипед6 прямоугольниковкоробка, пачка жвачки
    Цилиндр2 круглые крышки и бокстакан, банка, пробирка
    Сфера (шар)одна круглая поверхностьмяч, шар «Нур Алем»
    Конускруг снизу и остриё сверхурожок мороженого, дорожный конус

    Тень — это очертание тела, если смотреть на него со стороны фонарика. Задача урока: куб на столе осветили сверху — в тени квадрат. Он больше грани куба, но форма та же — а спрашивают именно форму.

    ИграКакое тело даёт такие тени? Выберите ответ.
    !
    Ловушка ЕНТ

    Иногда думают, что тень цилиндра всегда круг. Это неверно: сверху — круг, а сбоку — прямоугольник. У конуса сбоку — треугольник. Круг с любой стороны даёт только шар.

    13

    Разбор задач

    Уроки 5 и 20решение по шагам

    Задачи посложнее — по шагам. Сначала попробуйте решить сами, потом открывайте шаги.