Что исследуем

Параметры

Ситуация
Подсветить

Тяните круг B: чем сильнее круги заходят друг на друга, тем больше людей в общей части.

Ситуация
Подсветить
Множество A: кратные2
Множество B: кратные3
Числа от 1 до N30
Подсветить

Исследования

0/6
Два круга
Три круга
Числа и НОК

Нажмите на исследование — сцена подготовится, а здесь появится задание. Оно засчитывается по вашим действиям.

Справка

Два круга

Урок 7
——
——
——
——

Как считается

    Что происходит

    Записи

    №Что нашлиРезультат
    Пока нет записей. Нажмите «Записать».

    Журнал

      1

      Множества чисел: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

      Урок 6нажмите на число

      Множество — группа чисел (или любых объектов), у которых есть общий признак. Все числа, с которыми мы работаем, живут в «кругах», вложенных друг в друга: чем шире круг, тем больше в нём чисел.

      Натуральные ℕ — числа для счёта предметов: 1, 2, 3, 4, 5, … Ноль сюда не входит: мы не говорим «в комнате ноль кошек», мы говорим «кошек нет».
      Целые ℤ — натуральные, ноль и отрицательные: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … Из жизни: температура −15 °C, долг −1000 тг, прибыль +1000 тг.
      Рациональные ℚ — все числа, которые можно записать дробью: ½, −3, 0, 4, 1,5. «Съел половину пиццы», «проехал полтора километра».
      Иррациональные — бесконечные непериодические дроби: √2, π. Дробью не записываются; встречаются в расчётах: диагональ квадрата, длина окружности.
      Вещественные (действительные) ℝ — рациональные и иррациональные вместе: всё, что есть на числовой прямой.
      ИграК какому наименьшему множеству относится число? Проверяйте от самого узкого круга к самому широкому.
      !
      Ловушка ЕНТ

      Иногда 0 записывают в натуральные — это неверно: 0 целое, но не натуральное. И наоборот, «страшная» запись не делает число иррациональным: √9 = 3 и √16 = 4 — натуральные, а 0,25 = ¼ — рациональное.

      2

      Чётные и нечётные числа

      Урок 6тяните ползунок
      Танцоров12

      Чётные — целые числа, которые делятся на 2 без остатка: …, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, … Их можно записать как 2n. Нечётные — делятся на 2 с остатком 1: …, −5, −3, −1, 1, 3, 5, …

      Четыре яблока делятся поровну: 2 другу, 2 себе. Пять — уже нет: одно остаётся.

      Пример из жизниВальс на последний звонок: при чётном числе участников можно встать в шахматном порядке, при нечётном — «птичкой» (клином с одним впереди).
      ДействиеРезультат
      чётное + чётноечётное
      нечётное + нечётноечётное
      чётное + нечётноенечётное
      чётное · любое целоечётное
      3

      Свойства чисел для быстрого счёта

      Урок 6переключайте способ
      СвойствоФормулаПример
      Переместительноеa + b = b + a, ab = ba3000 + 5000 = 5000 + 3000
      Сочетательное(a + b) + c = a + (b + c)(100 + 50) + 20 = 100 + (50 + 20)
      Распределительноеa(b + c) = ab + ac3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2
      Нуля и единицыa · 0 = 0, a · 1 = a1000 · 0 = 0, 1000 · 1 = 1000

      Порядок одежды не важен: шорты, потом футболка — или наоборот, итог тот же (переместительное). Три книги можно взять «красную, а потом серую с синей» или «красную с синей, а потом серую» — всё равно три книги (сочетательное).

      37 + 45 + 63 = (37 + 63) + 45 = 14525 · 17 · 4 = (25 · 4) · 17 = 17007 · 103 = 7 · 100 + 7 · 3 = 72118 · 25 + 18 · 75 = 18 · (25 + 75) = 1800
      ИграКакое свойство помогает посчитать быстрее?
      4

      Признаки делимости

      Урок 6меняйте цифры
      НаПризнакПроверка

      Признак делимости отвечает «делится или нет», не выполняя деления. Признаки — три семейства:

      По последней цифре: на 2 — число чётное; на 5 — оканчивается на 0 или 5; на 10 — оканчивается на 0.
      По сумме цифр: на 3 — сумма цифр делится на 3 (123: 1 + 2 + 3 = 6); на 9 — сумма цифр делится на 9 (621: 6 + 2 + 1 = 9).
      По «хвосту»: на 4 — число из двух последних цифр делится на 4 (716: 16 : 4 = 4); на 8 — из трёх последних (5112: 112 : 8 = 14).
      На 6 — делится и на 2, и на 3 одновременно (246: чётное и 2 + 4 + 6 = 12).
      ИграНайдите цифру: задания в формате ЕНТ.
      !
      Ловушка ЕНТ

      Иногда признак на 4 проверяют по последней цифре: «оканчивается на 4 — значит делится». Неверно: 714 оканчивается на 4, но 14 на 4 не делится. И признак на 9 сильнее признака на 3: сумма цифр 12 делится на 3, но не на 9.

      5

      НОД и НОК через разложение

      Урок 6выберите пару чисел

      НОД — наибольший общий делитель: самое большое натуральное число, на которое делятся оба числа без остатка. НОК — наименьшее общее кратное: самое маленькое натуральное число, которое делится на оба числа.

      Как найти: разложить оба числа на простые множители столбиком (делим на наименьшее простое, пока не получим 1). Простое число делится только на 1 и на себя: 2, 3, 5, 7, 11, …

      НОД — только общие множителиНОК — все множители, общие — по одному разу

      Удобно представить множители в двух кругах: общие лежат в пересечении. НОД — произведение пересечения, НОК — произведение объединения. Проверка: НОД · НОК = a · b.

      Житейский смыслНОД — «на сколько равных частей можно разделить и то, и другое»: ленты, ряды, наборы. НОК — «когда два повторяющихся процесса совпадут»: шаги двух людей, расписание двух автобусов.
      !
      Ловушка ЕНТ

      Не путайте: НОД не больше меньшего из чисел, НОК не меньше большего. Если «НОД» вышел больше обоих чисел — найден НОК. И НОК — не произведение: 36 · 54 = 1944 делится на оба, но наименьшее общее кратное — 108.

      6

      Множество, элементы, виды, подмножество

      Урок 7нажмите на кнопки

      Множество — группа объектов, объединённых общим признаком; обозначают заглавными буквами A, B, C. Элементы входят в множество без повторов, и порядок не важен: {Бека, Алма, Влад, Диана, Глеб} — то же множество, что и {Алма, Бека, Влад, Диана, Глеб}.

      Множество школьных предметов: математика, история, биология, физика. «Танцы» туда не добавить — это не школьный предмет. Подписчики и подписки в соцсети — два множества людей, у которых может быть пересечение.

      Подмножество: если все элементы B входят в A, то B — подмножество A: B ⊂ A. Хватит одного «лишнего» элемента, чтобы это стало неверным.

      Из жизниA — ученики, которые сдают историю Казахстана, математическую и читательскую грамотность (все сдающие ЕНТ). B — поступающие на творческие специальности: они сдают историю Казахстана и грамотность чтения. Каждый из B есть и в A, поэтому B ⊂ A.
      КарточкиТри вида множеств — по количеству элементов. Нажмите на карточку.
      7

      Круги Эйлера — Венна: объединение, пересечение, разность

      Урок 7выберите действие

      Изображать множества кругами придумал Леонард Эйлер — швейцарский, немецкий и российский математик. Джон Венн, английский логик, предложил схему, на которой видны все варианты пересечений.

      ДействиеЧто берёмКоличество
      Объединение A ∪ Bвсе элементы обоих, повторы — один раз|A| + |B| − |A ∩ B|
      Пересечение A ∩ Bтолько то, что есть и в A, и в B|A| + |B| − |A ∪ B|
      Разность A \ Bэлементы A, которых нет в B|A| − |A ∩ B|

      Пример: A = {1; 2; 3; 4; 5}, B = {3; 4; 5; 6}. Объединение — {1; 2; 3; 4; 5; 6}: 5 + 4 − 3 = 6 элементов. Пересечение — {3; 4; 5}: 5 + 4 − 6 = 3. Разность A \ B = {1; 2}: 5 − 3 = 2. Разность несимметрична: B \ A = {6}.

      ИграВ какую область кругов попадает человек? A — ходит в бассейн, B — ходит в спортзал.
      8

      Алгоритм задачи на два множества и проверка

      Урок 7меняйте общую часть
      1. Выделить множества и обозначить буквами: A — подписка на Netflix, B — на YouTube Premium.
      2. Найти данные: |A| = 62, |B| = 45, оба — 28, всего опрошено 100.
      3. Понять, что спрашивают: хотя бы одна (A ∪ B), только A (A \ B), только B (B \ A), ни одной.
      4. Нарисовать круги и заполнить сначала общую часть, потом «только A» и «только B».
      5. Применить формулы: 62 + 45 − 28 = 79; 62 − 28 = 34; 45 − 28 = 17; 100 − 79 = 21.
      6. Проверить: 34 + 17 + 28 + 21 = 100 — сходится.
      Зачем проверкаЧетыре части — только A, только B, оба, ни одного — в сумме обязаны дать всех. Если сумма больше — общую часть посчитали дважды.
      Оба (A ∩ B)28
      ИграРасставьте шаги алгоритма по порядку.
      9

      Три множества: заполняем от центра наружу

      Урок 7заполняйте по шагам

      Задача: в школе 90 учеников сдают экзамены. Математику — 50, физику — 40, химию — 35; математику и физику — 20, математику и химию — 15, физику и химию — 10, все три — 5. Сколько сдают ровно один предмет?

      Правило: сначала центр (все три), потом «ровно два» — из каждого парного числа вычитаем центр, потом «только один» — из всего круга вычитаем три соседние части.

      только М = 50 − 15 − 10 − 5 = 20только Ф = 40 − 15 − 5 − 5 = 15только Х = 35 − 10 − 5 − 5 = 15ровно один = 20 + 15 + 15 = 50
      !
      Ловушка ЕНТ

      «Математику и физику — 20» включает и тех, кто сдаёт все три. Если из 50 вычесть 20 и 15 без поправки на центр, центр вычтется дважды.

      10

      Найди ошибку в подсчёте

      Уроки 6–7нажмите на неверный шаг
      ✎

      Разбор задач

      Уроки 6–7решайте по шагам