Что исследуем

Параметры

Первоначальная цена20 000 тг
Первое изменение−20 %
Второе изменение−25 %
Сюжет
Стало25
Как решаемваш выбор
Задача
Масштаб карты
На карте5 см
Масштаб плана
Длина на плане8 см
Ширина на плане6 см

Точку B на карте можно тянуть вдоль линейки.

Исследования

0/7
Проценты подряд
Пропорции
Масштаб

Нажмите на исследование — откроется нужный режим, а здесь появится задание. Оно засчитывается по вашим действиям и записям: кнопка «Записать».

Справка

Ценник

Урок 9
——
——
——
——

Как считается

    Что происходит

    Записи

    №Что посчиталиРезультат
    Пока нет записей. Нажмите «Записать».

    Журнал

      1

      Отношение: во сколько раз

      Урок 8тяните ползунки

      Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше или меньше другого. Записывают как деление: a : b или ab.

      Например, отношение шести к трём: 6 : 3 = 63 = 2 — шесть больше трёх в 2 раза.

      Отношение можно сокращать, как дробь: 18 : 12 = 3 : 2, 45 : 30 = 3 : 2 (делим оба числа на их наибольший общий делитель). Порядок важен: 3 : 2 и 2 : 3 — разные отношения.

      Части целого«Числа относятся как 3 : 7, их сумма 60» — значит, в первом числе 3 одинаковые части, во втором 7, всего 10 частей. Одна часть: 60 : 10 = 6. Числа: 3 · 6 = 18 и 7 · 6 = 42.
      a18
      b12

      Как делить в отношении: сложить части → найти одну часть (целое : число частей) → умножить на число частей каждой величины. Проверка — сумма должна сойтись.

      !
      Ловушка ЕНТ

      Иногда делят целое на одну из частей: «смесь 4 : 1, 45 кг, цемента 45 : 4 ≈ 11». Это неверно: делить нужно на сумму частей 4 + 1 = 5, цемента 45 : 5 = 9 кг.

      2

      Пропорция и её основное свойство

      Урок 8нажмите «Крест-накрест»

      Пропорция — равенство двух отношений: ab = cd.

      Основное свойство пропорции: числа умножают крест-накрест — a · d = b · c. Проверим: 2 : 3 = 4 : 6, по диагонали 2 · 6 = 12 и 3 · 4 = 12 — равенство сошлось.

      Через свойство находят неизвестный член: 2 : 3 = 4 : x → 2x = 3 · 4 → x = 12 : 2 = 6. Им же проверяют, пропорция ли это: 5 : 8 = 15 : 24 → 5 · 24 = 120 и 8 · 15 = 120 — да.

      Зачем это в жизниРецепт блинов дан на 15 порций: 1 л молока, 4 яйца, 500 г муки. В семье 5 человек, каждый хочет по 5 блинов — нужно 25 порций. Все продукты пересчитывают одной и той же пропорцией.
      3

      Прямая и обратная пропорция

      Урок 8переключайте и тяните
      ВидКак ведут себя величиныПримерЗапись
      Прямаяодна растёт — другая тоже растётбольше порций — больше продуктовa₁ : a₂ = b₁ : b₂
      Обратнаяодна растёт — другая уменьшаетсябольше рабочих — меньше днейa₁ : a₂ = b₂ : b₁

      У обратной пропорции правую часть переворачивают. Почему это работает: при обратной зависимости не меняется произведение — работа «10 рабочих · 12 дней» = 120 человеко-дней, и её же сделают 15 рабочих · 8 дней. При прямой не меняется частное: молока на одну порцию всегда 1 : 15 л.

      Проверка мысленным увеличениемМысленно увеличьте первую величину и спросите: что стало со второй? Выросла — прямая, уменьшилась — обратная. Скорость больше — время в пути меньше (обратная); километров больше — бензина больше (прямая).
      Порций25
      ИграПрямая или обратная? Разложите ситуации. Мысленно увеличьте первую величину — что станет со второй?
      !
      Ловушка ЕНТ

      Главная ошибка — решить обратную задачу как прямую. 10 рабочих строят дом за 12 дней; «прямой» расчёт для 15 рабочих даёт 18 дней — рабочих больше, а работают дольше? Так не бывает. Правильно: x = 10 · 12 : 15 = 8 дней.

      4

      Масштаб: от карты к реальности

      Урок 8выберите масштаб

      Масштаб — отношение расстояния на карте (чертеже, модели) к реальному расстоянию. Масштаб 1 : 100 000 значит: 1 см на карте — это 100 000 см в реальности.

      на картев реальности = 1масштаб

      Дальше — обычная пропорция крест-накрест. Пример: 5 см на карте масштаба 1 : 100 000 — 5x = 1100 000, x = 500 000 см = 5 000 м = 5 км.

      ЕдиницыМасштаб работает в одинаковых единицах: считали в сантиметрах — ответ в сантиметрах, его нужно перевести. В метре 100 см, в километре 1 000 м, то есть 100 000 см.
      На карте5 см
      КарточкиСколько в реальности занимает 1 см карты? Переверните карточку.
      !
      Ловушка ЕНТ

      Площадь по плану: масштаб применяют к каждой стороне. План 1 : 50, комната 8 см × 6 см → 4 м × 3 м = 12 м². Иногда умножают на 50 площадь плана (48 см² · 50 = 2 400 см² = 0,24 м²) — это неверно: площадь растёт в 50 · 50 = 2 500 раз.

      5

      Алгоритм задачи на пропорцию

      Урок 8пересчитайте рецепт
      1. Определи вид зависимости. Мысленно увеличь первую величину: вторая выросла — прямая, уменьшилась — обратная.
      2. Составь таблицу «было — стало» из двух колонок: порции и молоко, рабочие и дни, сантиметры и километры.
      3. Запиши пропорцию. Прямая — обе величины в одном порядке; обратная — правую часть переверни.
      4. Умножь крест-накрест и найди неизвестное.
      5. Проверь здравым смыслом: результат должен был вырасти (или уменьшиться) — так и вышло?
      Округление по смыслуНа 25 порций яиц нужно 25 · 4 : 15 ≈ 6,67. Часть яйца не возьмёшь — округляем в большую сторону, до 7, иначе теста не хватит.
      Порций25
      ПродуктНа 15 порцийПропорцияНужно
      ИграРасставьте шаги алгоритма по порядку.
      6

      Процент — сотая часть

      Урок 9закрашивайте клетки

      Слово «процент» — от латинского per centum, «на сотню». Процент — это сотая часть числа. 100 % — это целое, а 1 % — одна сотая, то есть 0,01.

      Целая пицца — 100 %. Пополам — две половинки по 50 %. Каждую ещё пополам — четыре куска по 25 %, то есть четверть.

      Проценты — это пропорция в чистом виде: часть относится к целому, как процент к 100.

      частьцелое = процент100

      Где нужны проценты: скидка в магазине, средняя оценка, результат теста, доля в бюджете.

      Закрашено25 %
      7

      Перевод: проценты ↔ число

      Урок 9переверните карточки
      Что делаемКакПример
      Проценты → числоделим на 10025 % = 25 : 100 = 0,25
      Число → процентыумножаем на 1000,75 = 0,75 · 100 = 75 %

      Запятая сдвигается на два знака: влево — когда делим на 100, вправо — когда умножаем. Наизусть: 50 % = 0,5 · 25 % = 0,25 · 20 % = 0,2 · 10 % = 0,1 · 1 % = 0,01.

      Средний баллОценки студента: математика 90 %, физика 75 %, история 80 %. Переводим в числа: 0,9; 0,75; 0,8. Сумма 2,45, делим на 3 предмета: ≈ 0,82, обратно в проценты — 82 %. Для стипендии нужно не меньше 70 %: 82 > 70 — студент остаётся на стипендии.

      Сравнить число и проценты — привести к одному виду: что больше, 0,4 или 45 %? 45 % = 0,45 > 0,4.

      !
      Ловушка ЕНТ

      8 % — это 0,08, а не 0,8: запятая уходит на два знака. И проценты больше ста бывают: 120 % = 1,2, а 1,25 = 125 %.

      8

      Три типа задач и три формулы

      Урок 9выберите, что ищем
      Что ищемФормулаПример
      Часть (процент от числа)часть = процент · целое10030 % от 20 000 тг
      Целое (число по проценту)целое = часть · 100процент1 200 л — это 30 %
      Процент (доля от целого)процент = частьцелое · 100 %30 из 40

      Алгоритм: определи тип задачи (ищем часть, целое или процент?) → запиши нужную формулу → подставь числа и посчитай → проверь, на тот ли вопрос ответил.

      ИграКакую формулу взять? Разложите задачи по типам.
      !
      Ловушка ЕНТ

      Иногда путают «процент от числа» и «число по проценту». 30 % от 1 200 — это 360 (на 100 делят); а если 1 200 — это 30 %, то целое 4 000 (на 100 умножают). Прочитайте, что известно: целое или часть.

      9

      Скидки, наценки и два изменения подряд

      Урок 9выберите пример

      Скидка — процент от старой цены, его вычитают; наценка — прибавляют. Куртка 20 000 тг, скидка 30 %: скидка 30 · 20 000 : 100 = 6 000 тг, новая цена 20 000 − 6 000 = 14 000 тг. Ответ «6 000» — это только скидка.

      Удобно сразу умножать на множитель: скидка 30 % — это «осталось 70 %», цена · 0,7; наценка 15 % — цена · 1,15.

      Два изменения подряд: второй процент считается от новой цены, поэтому проценты не складываются. −20 %, потом −25 %: 100 → 80 → 60, итог −40 %, а не −45 %. Приём для «на сколько процентов»: взять первоначальную цену за 100 условных единиц.

      Процент ростаЦена выросла с 4 000 до 5 000 тг: прирост 1 000 тг считают от старой цены — 1 000 : 4 000 · 100 % = 25 %.
      Игра «Сколько процентов?»Отвечайте быстро — каждая задача на один приём.
      !
      Ловушка ЕНТ

      «+10 %, потом −10 % — цена вернётся» — неверно: 100 → 110 → 99, итог −1 %. Второе изменение берётся от 110, а не от 100.

      10

      Найди ошибку в решении

      Уроки 8–9нажмите на неверный шаг

      В каждом решении одна ошибка — та, что чаще всего встречается на ЕНТ. Найдите неверный шаг.

      ✎

      Разбор задач

      Уроки 8–9решайте по шагам

      Задачи уроков. Сначала попробуйте сами, потом открывайте шаги.